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Transkript Geometrie – Prüfungsaufgabe Festzelt (1)

Hallo, so jetzt haben wir es fast geschafft. Hier kommt die letzte Aufgabe. Vier Aufgaben enthält eine jede Abschlussprüfung für die Realschule in Nordrhein-Westfalen. Das ist jetzt die 3. Aufgabe aus dem 2. Teil. Das ist wieder eine komplexere Aufgabe, mit vielen Unteraufgaben, die sich alle um ein bestimmtes Thema drehen. In dem Fall ist es ein solches Festzelt - hier ist es abgebildet. Den Aufgabenzettel kannst du bei mir auf der Homepage finden, www.mathematik-werkstatt.de. Und rein zufällig habe ich hier auch mal ein solches Kantenmodell eines Festzeltes stehen. So ungefähr sieht es aus und damit können wir jetzt ganz schön rechnen. Die Aufgabe lautet: Die Grundfläche des abgebildeten Festzeltes ist ein regelmäßiges Sechseck, was ich hier auch rein zufällig so ungefähr mal aufgemalt habe. Hier ist auch eins aufgemalt übrigens. Erste Aufgabe a: Die Fläche eines regelmäßigen Sechsecks besteht aus 6 gleichseitigen Dreiecken. Zeichne diese Dreiecke in das nebenstehende Sechseck ein. Ja, da muss man eben wissen, was ein gleichseitiges Dreieck ist und diese gleichseitigen Dreiecke hier hineinsehen. Und da brauch ich glaub ich nicht viel zu erklären. Wenn man gegenüberliegende Ecken verbindet, entstehen diese 6 gleichseitigen Dreiecke. 6 gleichseitige Dreiecke sehen in dem Sechseck ungefähr so aus und das ist dann schon die Lösung der Aufgabe. Da muss man das "nur" einzeichnen. Das ist hier wieder eine typische Aufgabe. Das wird sich in den nächsten Aufgabenteilen auch noch so durchziehen. Wenn man klar ist, wenn man genau weiß was man macht, ist man sofort - zack zack- fertig. Gar kein Problem. Man muss auch nicht viel rechnen. Wenn man nicht ganz sicher ist, kann man mit etwas Aufwand auch die Aufgaben lösen. Es dauert dann alles länger. Ja und so hat man eben einen Vorteil, wenn man einen guten Überblick hat, die Sachen gut gelernt hat - das gereicht einem dann zum Vorteil, weil man einfach weniger schreiben muss und zum Beispiel mehr Zeit hat, seine Sachen noch mal auf Fehler zu prüfen. So sollte das sein - zumindest wenn die Aufgaben nach den Richtlinien der Kulturministerkonferenz gestellt sind. Aufgabe b: Die Strecke von einer Ecke zu einer gegenüberliegenden Ecke der Grundfläche des Festzeltes, beträgt 12 Meter. Berechne die Seitenlänge und den Flächeninhalt der Grundfläche. Notiere die Rechnung in deinen Unterlagen. Da kam ich jetzt nicht umhin, um diesen letzten Satz. Das steht häufig dabei in den Nordrhein-Westfalen-Aufgaben, dass du eben noch deine Rechnung notieren sollst und irgendetwas mit deinen Unterlagen. Deshalb hab ich das hier stehen. Ok, also du sollst nicht nur das Ergebnis hinschreiben. Also dann. Was ist die Aufgabe? Wir haben also 12 Meter von einer Ecke der Grundfläche zu einer anderen. Ich kann es so noch mal zeigen, von hier bis hier. Das sind also 12 Meter. Von hier bis hier. Von hier bis hier. Und berechne die Seitenlänge und den Flächeninhalt der Grundfläche. Seitenlänge des Sechsecks ist natürlich gemeint. Das ist eine Seitenlänge. Und wenn wir wissen, dass das hier gleichseitige Dreiecke sind, und wir wissen, dass die Strecke von hier bis hier 12 Meter ist, dann wissen wir auch, dass die Strecke vom Schnittpunkt bis zur Ecke die Hälfte ist, nämlich 6 Meter. Wenn das 6 Meter sind, sind alle Seiten im gleichseitigen Dreieck auch 6 Meter lang. Und deshalb können wir hier einfach 6 Meter hinschreiben. Das ist also eine Seite des Sechsecks. Und dann müssen wir noch den Flächeninhalt der Grundfläche berechnen. Wenn wir die Fläche eines Dreiecks hätten, müssten wir die nur noch mit 6 multiplizieren und hätten dann die gesamte Fläche. Deshalb haben wir die Dreiecke zuvor ja auch eingetragen. Was hier jetzt noch das Problem ist, dass ist diese Höhe: wir haben keine Höhe angegeben, die müssen wir berechnen. Und wir können uns zunächst überlegen, ist es sinnvoll diese Höhe zu berechnen. Dazu muss man sich überlegen, ob die Höhe im Dreieck eindeutig bestimmt ist. Haben wir alle Angaben, die das Dreieck eindeutig machen? Und ich würde sagen, ja, die haben wir. Denn wir wissen, das ist ein gleichseitiges Dreieck, wir kennen die Seitenlängen, das heißt, wir kennen alle Seitenlängen und damit wissen wir auch genau, wie das Dreieck aussieht und damit ist auch die Höhe definiert. So was muss man sich immer fragen, damit man nicht einfach irgendetwas rechnet und hinterher feststellt, dass es nicht funktioniert. Also das muss funktionieren. Und hier habe ich die Rechnung vorbereitet, die man da machen muss. Also einmal die Seitenlänge, das ist 12÷2=6. Und dann wollen wir jetzt die Höhe h in einem solchen Dreieck berechnen. Und das kann man mit dem Satz des Pythagoras machen. Eine Höhe bildet ja mit der Seite, auf die sie auftrifft, einen rechten Winkel. Das heißt, wir haben hier ein rechtwinkliges Dreieck. Wir kennen eine Seite davon, die ist 6m und wir kennen auch diese Seite von Fußpunkt der Höhe bis Dreiecksecke. In einem gleichschenklingen wobei auch in einem gleichseitigen Dreieck, teilt ja der Fußpunkt der Höhe, dieser hier wo die Höhe auftrifft, die Seite,  in 2 gleiche Teile. Wie gesagt in gleichschenkligen und gleichseitigen Dreiecken ist das der Fall. Also ist dieser Teil 3 Meter lang, weil 6÷2=3 ist. Damit kennen wir 2 Seiten dieses Dreiecks hier und können den Satz des Pythagoras anwenden.   Wir suchen eine Kathete und deshalb sagen wir einfach: Hypotenuse zum Quadrat - das steht hier - minus eine Kathete zum Quadrat, also - die 32, das ist eine Kathete ist gleich: diese Kathete zum Quadrat, also h2. Und ich habe hier gleich nach h aufgelöst, also auf beiden Seiten die Wurzel gezogen. +/- die Wurzel kann ich mir hier sparen, weil ich nicht einfach nur die Gleichung lösen will, sondern eine konkrete Kathete errechnen will und die kann nur positiv lang sein. Es gibt keine Katheten mit negativer Länge. Ich habe hier jetzt den exakten Wert angegeben: 3×√3. Hier gilt auch wieder, erst den exakten Wert angeben, da heißt so ein Term mit einer Wurzel kommt da häufig raus und dann das in einen Taschenrechner eintippen und einen gerundeten Wert angeben, der ist hier bei ca. 5,2. Dann rechne ich hier den Flächeninhalt der Grundfläche aus und zwar indem ich hier wieder den exakten term verwende. Immer wnen du Zwischenergebnisse hast, musst du die exakt hinschreiben und dann mit dem exakten Term weiterrechnen. Und dann hier wieder alles zusammenfassen und am Ende runden. Wie kommt der Term zustande? Das ist die Höhe 3×√3, diese Höhe muss ich mit der Grundseite multiplizieren und die ist 6 m lang, oder 6 Einheiten - ich hab ja die Meter hier alle weggelassen. Das muss ich durch 2 teilen, also Grundseite × Höhe durch 2 ist ja die Flächenformel im Dreieck. Da wir 6 Dreiecke haben, kann ich das Ganze mit 6 multiplizieren: 6× 6×3√3÷2. Und auch das kann man bis dahin im Kopf ausrechnen. Ich kann die 6 und die 2 kürzen und dann steht hie roben noch eine 3. Dann steht da: 6× 3×3×√3 = 54√3.  Dazu braucht man auch keinen Taschenrechner, will ich nur sagen, um 6×9 zu rechnen. Und Näherungswert ist dann 93,5. Ja, das ist die ganze Rechnung dazu und dann sind wir hier auch fertig. Viel Spaß damit, tschüss.

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