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Flächeninhalt eines Dreiecks als Funktion eines Innenwinkels

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Lerntext zum Thema Flächeninhalt eines Dreiecks als Funktion eines Innenwinkels

Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks – Einführung

Um den Flächeninhalt von einem allgemeinen Dreieck zu berechnen, kennst du sicher schon die folgende Formel:

$A= \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$

Der Flächeninhalt berechnet sich aus der Hälfte des Produkts von Grundseite und Höhe des Dreiecks.

Es kann aber vorkommen, dass dir Aufgaben begegnen, in denen du die Höhe im Dreieck nicht einfach bestimmen kannst. Um trotzdem den Flächeninhalt zu berechnen, brauchst du bei der Variante, um die es in diesem Text gehen soll, nur zwei Seitenlängen und den eingeschlossenen Winkel.

Worin solltest du dafür schon fit sein?

Hilfsmittel: Flächeninhalt eines Parallelogramms

Damit verständlich ist, wie die spätere Formel für den Flächeninhalt vom Dreieck zustande kommt, benötigen wir zuerst die des Parallelogramms. Hierzu ist allgemein bekannt:

$A_\text{Parallelogramm}= a \cdot h_a$

Folgende Situation kann uns dabei begegnen:

  • $h$ ist unbekannt und kann nicht so einfach bestimmt werden.
  • Die Seiten $a$ und $b$ sind bekannt und der an $a$ angrenzende Winkel $\alpha$.

Da wir wissen, dass die Höhe immer senkrecht auf der jeweiligen Seite steht, können wir das nutzen, um das Parallelogramm zu erweitern, wie in der Abbildung zu sehen ist.

Erweitertes Parallelogramm

Die Höhe $h$ steht senkrecht auf der verlängerten Seite $a$. Da bekannt ist, dass die Summe von zwei benachbarten Innenwinkeln in einem Parallelogramm $180^{\circ}$ ergibt (also in unserem Fall $\alpha + \beta = 180^\circ$), können wir den Winkel $\alpha$ in das sich ergebende rechtwinklige Dreieck übertragen.

Jetzt können wir den Sinus des Winkels benutzen:

$\sin \alpha = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}= \dfrac{h}{b}$

Diese Gleichung kann nun nach $h$ umgestellt werden, indem mit $b$ multipliziert wird:

$h= \sin \alpha \cdot b$

Und das wiederum können wir nutzen, um $h$ in der allgemeinen Flächeninhaltsformel zu ersetzen:

$A= a \cdot h = a \cdot b \cdot \sin \alpha$

Damit erhalten wir eine Flächeninhaltsformel vom Parallelogramm, die unabhängig von der Höhe ist und können diese nachfolgend nutzen, um den Flächeninhalt von unserem Dreieck zu berechnen.

Flächeninhalt eines Dreiecks mit dem Sinus berechnen

Um den Flächeninhalt im Dreieck mit den gegebenen Größen $a$, $b$ und $\gamma$ zu berechnen, nutzen wir, dass man ein Dreieck zu einem Parallelogramm erweitern kann. Dies geschieht, indem man zwei identische Dreiecke aneinander legt. In der Abbildung siehst du die Erweiterung des Dreiecks.

Dreieck zu Parallelogramm ergänzen

Vom Parallelogramm wissen wir jetzt schon die Formel für den Flächeninhalt. Und da, wie in der Abbildung deutlich wird, die Fläche des Dreiecks die Hälfte der Fläche des Parallelogramms ausmacht, können wir folgende Formel aufstellen:

$\begin{array}{rcll} A_\text{Parallelogramm}&=& 2 \cdot A_\text{Dreieck} & \vert :2 \\ \\ A_\text{Dreieck}&=& \frac{1}{2} \cdot A_\text{Parallelogramm} & \vert \text{einsetzen der Formel} \\ \\ A_\text{Dreieck}&=& \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma & \, \end{array}$

Und damit erhalten wir die Formel für den Flächeninhalt von einem allgemeinen Dreieck, ganz unabhängig von der Höhe!

Nachfolgend wollen wir überprüfen, ob diese auch korrekt ist. Dabei betrachten wir die folgende Aufgabe:

Aufgabe
Es ist ein Dreieck gegeben mit den Angaben: $a=2{,}5 \,\text{cm} , ~ b=3{,}5 \,\text{cm} , ~ \gamma = 35^\circ , ~ h_b=1{,}43\, \text{cm}$ Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks!

Um einen Hinweis darauf zu erhalten, dass die Formel, die wir oben erarbeitet haben, korrekt ist, berechnen wir nachfolgend auf beide Weisen den Flächeninhalt.

Zuerst auf die altbekannte Art:

$\begin{array}{rcl} A&=& \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b \\ \\ &=& \frac{1}{2} \cdot 3{,}5 \cdot 1{,}43 \\ \\ &\approx& 2{,}5 \end{array}$

Der Flächeninhalt beträgt $2{,}5 \,\text{cm}^2$.

Anschließend verwenden wir die Formel in Abhängigkeit des Winkels:

$\begin{array}{rcl} A&=& \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma \\ \\ &=& \frac{1}{2} \cdot 2{,}5 \cdot 3{,}5 \cdot \sin35^\circ \\ \\ &\approx& 2{,}5 \end{array}$

Der Flächeninhalt beträgt auch hier $2{,}5 \,\text{cm}^2$

Durch das Beispiel wird ersichtlich, dass die trigonometrische Formel ebenso korrekt ist und für die Berechnung des Flächeninhalts angewendet werden kann.

Flächeninhalt eines Dreiecks mit Sinus berechnen – Übungsaufgaben

Berechne nun in den folgenden Aufgaben mit den gegebenen Größen die Flächeninhalte der Dreiecke. Fertige dir, wenn nötig, eine Skizze dazu an.

Achtung: In der letzten Aufgabe musst du etwas umdenken – sie ist für Profis geeignet.

$a=3{,}25\,\text{cm} , ~ h_a=5{,}3\,\text{cm}$
$a=12{,}1\,\text{cm} , ~ b=7{,}3\,\text{cm} , ~ \gamma= 40^\circ$
$a=5{,}23\,\text{cm} , ~ c=3{,}55\,\text{cm} , ~ \beta= 23^\circ$
$b=4{,}7\,\text{cm} , ~ c=5{,}8\,\text{cm} , ~ \beta=55^\circ , ~ \gamma=60^\circ$

Flächeninhalt eines Dreiecks mit dem Sinus berechnen – Zusammenfassung

Hat man in einem Dreieck keine Höhe gegeben, sondern nur zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel, kann man den Flächeninhalt berechnen mit:

$A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma$

Die Formel kann aus dem Flächeninhalt des Parallelogramms hergeleitet werden, da dieses entsteht, wenn man zwei identische Dreiecke aneinanderfügt.

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Flächeninhalt eines Dreiecks als Funktion eines Innenwinkels Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Lerntext Flächeninhalt eines Dreiecks als Funktion eines Innenwinkels kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Herleitung der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks als Funktion eines Innenwinkels.

    Tipps

    Hier siehst du ein Quadrat. Wenn du ein rechtwinkliges und gleichschenkliges Dreieck durch ein kongruentes Dreieck ergänzt, erhältst du ein Quadrat.

    Sicher ist der Flächeninhalt des Dreiecks kleiner als der des Vierecks.

    Du kennst die folgende Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks:

    $A_{\triangle}=\frac12\cdot a\cdot h_a$.

    Verwende $\sin(\gamma)=\frac{h_a}b$.

    Lösung

    Hier siehst du ein Parallelogramm. Dieses erhältst du, wenn du das gegebene Dreieck durch ein kongruentes Dreieck ergänzt.

    Da der Flächeninhalt des Parallelogramms das Doppelte des Flächeninhaltes des Dreiecks ist, kannst du folgern: Der Flächeninhalt des Dreiecks ist die Hälfte des Flächeninhaltes des Parallelogramms.

    Verwende die Formel für das Parallelogramm: $A_{\text{Parallelogramm}}=a\cdot b\cdot \sin(\alpha)$.

    Damit ist $A_{\triangle}=\frac12\cdot a\cdot b\cdot \sin(\gamma)$.

  • Gib die Formel für den Flächeninhalt $A_{\triangle}$ bei speziellen Winkeln an.

    Tipps

    Verwende die speziellen Werte für trigonometrische Funktionen aus diesem Tabellenausschnitt. Achte darauf, dass du die Sinuswerte verwendest.

    Du musst jeweils $\sin(\gamma)$ durch den speziellen Wert ersetzen und den Term so weit wie möglich vereinfachen.

    Ach ja: $\sin(90^\circ)=1$.

    Lösung

    Hier siehst du einen Ausschnitt aus einer Tabelle für spezielle Werte von trigonometrischen Funktionen. Was hier nicht zu sehen ist, ist der Sinuswert $\sin(90^\circ)=1$.

    Nun kannst du die Formel $A_{\triangle}=\frac12\cdot a\cdot b\cdot\sin(\gamma)$ für spezielle Winkel untersuchen:

    1. $\gamma=30^\circ$ führt zu $A_{\triangle}=\frac12\cdot a\cdot b\cdot\frac12=\frac14\cdot a\cdot b$.
    2. $\gamma=45^\circ$ führt zu $A_{\triangle}=\frac12\cdot a\cdot b\cdot\frac12\cdot \sqrt2=\frac14\cdot\sqrt2\cdot a\cdot b$.
    3. $\gamma=60^\circ$ führt zu $A_{\triangle}=\frac12\cdot a\cdot b\cdot\frac12\cdot \sqrt3=\frac14\cdot\sqrt3\cdot a\cdot b$.
    4. $\gamma=90^\circ$ führt zu $A_{\triangle}=\frac12\cdot a\cdot b\cdot1=\frac12\cdot a\cdot b$.
  • Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.

    Tipps

    Verwende $\sin(30^\circ)=\frac12$.

    Setze die bekannten Größen ein.

    Das Ergebnis ist eine Dezimalzahl mit einer Nachkommastelle.

    Lösung

    Verwende die Formel $A_{\triangle}=\frac12\cdot a\cdot b\cdot \sin(\gamma)$.

    In diesem Dreieck sind:

    • $a=15~\text{cm}$ und $b=10~\text{cm}$ (Die Reihenfolge ist für die Berechnung nicht von Bedeutung.) sowie
    • $\gamma=30^\circ$.
    Durch Einsetzen der bekannten Größen erhältst du:

    $\begin{array}{rclll} A_{\triangle}&=&\frac12\cdot 15~\text{cm}\cdot 10~\text{cm}\cdot \sin(30^\circ)&|&\sin(30^\circ)=\frac12\\ &=&\frac12\cdot 150~\text{cm}^2\cdot \frac12\\ &=&\frac14\cdot 150~\text{cm}^2\\ &=&37,5~\text{cm}^2 \end{array}$

  • Leite die fehlende Seitenlänge her.

    Tipps

    Verwende die Formel $A_{\triangle}=\frac12\cdot a\cdot b\cdot \sin(\gamma)$.

    Setze den bekannten Flächeninhalt sowie $a$ und $\gamma$ ein.

    Es ist $\sin(60^\circ)=\frac12\cdot \sqrt 3$.

    Lösung

    In diesem Dreieck ist die Länge der Seite $a=20~\text{cm}$ sowie der Winkel $\gamma=60^\circ$ bekannt. Gesucht ist die Länge der Seite $b$. Da auch der Flächeninhalt $A_{\triangle}=260\cdot\sqrt2~\text{cm}^2$ gegeben ist, kannst du durch Umstellen der Flächeninhaltsformel die Seitenlänge ermitteln.

    Du verwendest nun $\sin(60^\circ)=\frac12\cdot\sqrt3$ und erhältst für den Flächeninhalt $A_{\triangle}=\frac14\cdot\sqrt3\cdot a\cdot b$.

    Setze nun die bekannten Größen ein und forme um:

    $\begin{array}{rclll} 260\cdot\sqrt3~\text{cm}^2&=&\frac14\cdot\sqrt3\cdot 20~\text{cm}\cdot b\\ &=&\sqrt3\cdot 5~\text{cm}\cdot b&|&:5~\text{cm}\\ 52\cdot\sqrt3~\text{cm}&=&\sqrt3\cdot b&|&:\sqrt 3\\ 52~\text{cm}&=&b \end{array}$

  • Beschreibe, welcher besondere Fall bei $\gamma=90^\circ$ vorliegt.

    Tipps

    Der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen $a$ und $b$ beträgt $A_{\text{Rechteck}}=a\cdot b$.

    Wenn du ein Rechteck entlang einer Diagonalen aufschneidest, erhältst du zwei kongruente Dreiecke.

    In einem rechtwinkligen Dreieck liegt die Hypotenuse dem rechten Winkel gegenüber. Die beiden Katheten schließen den rechten Winkel ein.

    Lösung

    Wenn $\gamma=90^\circ$ ist, dann erhältst du mit $\sin(90^\circ)$ für den Flächeninhalt des Dreiecks $A_{\triangle}=\frac12\cdot a\cdot b$.

    Fällt dir etwas auf?

    • Das Dreieck ist rechtwinklig. Der rechte Winkel wird von den Seiten $a$ und $b$ eingeschlossen.
    • Das Dreieck ist die Hälfte eines Rechtecks mit den Seitenlängen $a$ und $b$.
    • Der Flächeninhalt des Rechtecks ist $A_{\text{Rechteck}}=a\cdot b$.
    So kannst die obige Formel $A_{\triangle}=\frac12\cdot a\cdot b$ auch erklären.

  • Ermittle die jeweiligen Flächeninhalte.

    Tipps

    In diesem Tabellenausschnitt siehst du verschiedene Sinuswerte für bestimmte Winkel.

    Alle einzutragenden Werte sind ganzzahlig.

    Du kannst zu jedem der speziellen Winkel ausgehend von der Formel $A_{\triangle}=\frac12\cdot a\cdot b\cdot\sin(\gamma)$ eine spezielle Formel angeben.

    Anhand der Längenangaben bei $\triangle_2$ und $\triangle_3$ kannst du schon erkennen, welche Formel du verwenden kannst.

    Lösung

    Zu verschiedenen speziellen Winkeln sollst du nun Flächeninhalte berechnen:

    $\triangle_1$: $a=b=16~\text{cm}^2$ und $\gamma=30^\circ$

    • Verwende $\sin(30^\circ)=\frac12$ und somit $A_{\triangle_1}=\frac14\cdot a\cdot b$.
    • Setze die bekannten Größen ein $A_{\triangle_1}=\frac14\cdot 16~\text{cm}\cdot 16~\text{cm}=64~\text{cm}^2$.
    $\triangle_2$: $a=16~\text{cm}^2$, $b=5\cdot\sqrt2~\text{cm}$ und $\gamma=45^\circ$

    • Es ist $\sin(45^\circ)=\frac12\cdot\sqrt2$. So erhältst du $A_{\triangle_2}=\frac14\cdot \sqrt 2\cdot a\cdot b$.
    • Setze auch hier die bekannten Größen ein $A_{\triangle_2}=\frac14\cdot \sqrt 2\cdot 16~\text{cm}\cdot 5\cdot\sqrt 2~\text{cm}=\frac12\cdot 80~\text{cm}^2=40~\text{cm}^2$.
    $\triangle_3$: $a=16\cdot \sqrt3~\text{cm}^2$, $b=12~\text{cm}$ und $\gamma=60^\circ$

    • Mit $\sin(60^\circ)=\frac12\cdot \sqrt 3$ kommst du zu der Formel $A_{\triangle_3}=\frac14\cdot \sqrt 3\cdot a\cdot b$.
    • Damit erhältst du $A_{\triangle_3}=\frac14\cdot \sqrt 3\cdot 16\cdot \sqrt 3~\text{cm}\cdot 12~\text{cm}=\frac34\cdot 192~\text{cm}^2=144~\text{cm}^2$.
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Die Autor*innen
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sofatutor Team
Flächeninhalt eines Dreiecks als Funktion eines Innenwinkels
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse