Geometrie (25) Das Parallelogramm (c) Flächeninhalt und Winkel

Hallo, liebe Schülerinnen und Schüler!
Herzlich willkommen zum Video Geometrie, Teil 25. Auch in diesem Video haben wir das Thema "Das Parallelogramm". Das Unterthema dieses Videos lautet: Teil C, Flächeninhalt und Winkel.
Achtung, dieses Video ist nicht für die Grundschule geeignet! Ich habe es vorgesehen für Schülerinnen und Schüler ab der 10. Klasse.
In diesem Video möchte ich zeigen, wie man den Flächeninhalt eines Parallelogramms aus 2 Seiten und 1 Winkel berechnen kann. Zur besseren Veranschaulichung hefte ich hier das Modell eines Parallelogramms auf die Tafel. Die Eckpunkte des Parallelogramms werden mit den Großbuchstaben A, B, C und D bezeichnet. Die Seiten mit den Kleinbuchstaben a, b, c und d und die Winkel mit den griechischen Buchstaben α, β, γ und δ.
Ihr wisst ja bereits aus einem der vorigen Videos, dass man den Flächeninhalt eines Parallelogramms nach der Formel A=a×h berechnen kann. a ist die Seite AB, die ich in dem Parallelogramm schon eingetragen habe. h ist die Höhe, das heißt ich fälle das Lot von C auf die Verlängerung der Seite AB. Die Formel oben kennt ihr aus dem Video "Geometrie, Teil 23".
Stellen wir uns nun vor, wir haben folgendes Problem: Die Höhe h sei unbekannt. Dafür sei aber der Winkel α bekannt und außerdem kennen wir die beiden Seiten b und a. Lösung: Zunächst notieren wir die Formel für den Flächeninhalt des Parallelogramms: A=a×h. a ist uns bekannt, uns muss es nur noch gelingen, dass wir h durch α und b ausdrücken. Das gelingt uns durch das rechtwinklige Dreieck, das wir an das Parallelogramm rechts angebaut haben. Wir können nämlich den Sinus α schreiben als Gegenkathete zu Hypotenuse. Die Gegenkathete ist Gerade h und die Hypotenuse die Parallelogrammseite b. Also, Sinus α=h/b. Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit b und erhalten in der letzten Zeile b×sinα=h. Die Formel für den Flächeninhalt des Parallelogramms bezeichnen wir als (1) und die Gleichung b×sinα=h als Gleichung (2). Wir setzen nun den Wert für h aus Gleichung (2) in die Gleichung (1) ein und erhalten A=a×b×sinα. Damit haben wir für den Flächeninhalt des Parallelogramms eine Formel, die keine Höhe h mehr enthält. Ich notiere sie mit roter Schrift über das Parallelogramm: A=a×b×sinα.
Nun wollen wir die Formel für den Flächeninhalt des Parallelogramms für einige spezielle Werte für α konkretisieren. Nehmen wir zunächst α=30°. Das ergibt sin30°=½. Also, der Flächeninhalt A=½×a×b. α=45°. Dann ergibt das sin45°=½\sqrt2. Also erhalten wir für den Flächeninhalt A=½×\sqrt2×a×b. α=60°. Der Sinus von 60°=½×\sqrt3. Und der Flächeninhalt des Parallelogramms wird dann: A=½×\sqrt3×a×b. Und schließlich α=90°. Der Sinus von 90°=1. Der Flächeninhalt des Parallelogramms errechnet sich somit: A=a×b.
Um welches spezielle Parallelogramm handelt es sich hier: α=90°? Richtig, es handelt sich hierbei um ein Rechteck und wir haben für den Flächeninhalt auch die Formel des Rechtecks hier erhalten. Nehmen wir nun an, dass β gegeben ist. Wir wissen bereits, dass α+β=180° sind. Diesen Zusammenhang kennen wir aus dem Video "Geometrie, Teil 24". Wir formen um und erhalten: α=180°-β. Sinus α ist dann Sinus von 180°-β. Für die rechte Seite der Gleichung ergibt sich Sinus β. Das könnt ihr, wenn ihr es vergessen habt, in der Formelsammlung nachschauen. Also ergibt sich: sinα=sinβ. Damit können wir die Fläche des Parallelogramms auf andere Weise berechnen, nämlich A=a×b×sinβ. Ich notiere diese Formel unterhalb des Parallelogramms mit roter Farbe.
Es gibt noch andere Möglichkeiten, die Formel für den Flächeninhalt des Parallelogramms zu formulieren, zum Beispiel A=c×d×sinγ. Versucht, noch andere Möglichkeiten der Darstellung einer Formel zu finden.
Bevor wir das Video abschließen, wollen wir noch einen schönen Merksatz formulieren: Man berechnet den Flächeninhalt eines Parallelogramms als Produkt aus 2 verschiedenen Seiten und dem Sinus eines beliebigen Innenwinkels.
Das war's schon wieder für heute! Mir hat es viel Spaß bereitet - ich hoffe, euch auch. Und die Grundschülerinnen und Grundschüler, natürlich könnt auch ihr euch dieses Video anschauen, ich möchte nur nicht, dass ihr enttäuscht seid, weil ihr etwas nicht verstanden habt.
Ich wünsche allen Schülerinnen und Schülern Freude an den weiteren Videos. Alles Gute und viel Erfolg - tschüss!