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Textversion des Videos

Transkript Geometrie (16) Seiten und Winkel im Dreieck

Hallo, liebe Schülerinnen und Schüler! Herzlich willkommen zum Video "Geometrie, Teil 16". Das Thema des Videos lautet: Seiten und Winkel im Dreieck. Ihr könnt euch sicher noch daran erinnern, wie wir Seiten und Winkel in verschiedenen Dreiecken besprochen haben. Heute wollen wir überprüfen, ob es einen Zusammenhang zwischen den unterschiedlichen Längen der Seiten im Dreieck und den entsprechenden gegenüberliegenden Winkeln gibt. Betrachten wir zum Beispiel dieses Dreieck oder dieses oder auch vielleicht dieses. Es sind alles verschiedene Dreiecke. Sie sind nicht deckungsgleich, nicht kongruent. Wir wollen sie nun untersuchen. Zunächst bezeichnen wir dafür die Eckpunkte dieser 3 Dreiecke jeweils mit den Großbuchstaben A, B und C. Die jeweils gegenüberliegenden Seiten werden mit den Kleinbuchstaben a, b und c bezeichnet. Die Winkel bei den Eckpunkten A, B und C heißen α, β und γ. Die Bezeichnungen für die Eckpunkte kann ich nun weglöschen, denn wir brauchen sie für unsere Untersuchungen nicht mehr. Nun steht uns eine Menge Arbeit bevor. Wir müssen die Seiten der Dreiecke ausmessen und dann ihre Winkel. Und als Letztes werden wir die Ergebnisse miteinander vergleichen. Vielleicht finden wir einen Zusammenhang. Beginnen wir mit dem Dreieck in der Mitte. Für die Seite a messe ich eine Länge von 14,5cm, für b finde ich eine Länge von 16,5cm und für c schließlich werden 18,0cm gemessen. Jetzt messe ich mit dem Geodreieck die Winkel aus. Ich erhalte für α 51°, für β messe ich 64° und für γ erhalte ich 65°. Nun wollen wir bestimmen, welche Seite des Dreiecks die kürzeste, welche die mittlere und welche die längste ist. Habt ihr das gefunden? Richtig, a ist die kürzeste Seite, b die mittlere Seite, und c ist die längste Seite. Also gilt: a < b < c. Welcher der Winkel ist der kleinste, welcher der mittlere und welcher der größte? Richtig, α ist der kleinste Winkel, β der mittlere, und γ ist der größte Winkel. Also gilt: α < β < γ.  Nun wollen wir das mittlere Dreieck ausmessen. Für a erhalte ich 18,8cm, für b messe ich 10,4cm und für c schließlich erhalte ich 23,7cm. Nun messe ich mit dem Geodreieck die Winkel aus. Für α erhalte ich 50°, für β 25° und für γ 105°. Nun müssen wir bestimmen, welche Seite die kürzeste, welche die mittlere und welche die längste ist. Richtig, b < a < c. Nun schauen wir uns die Winkel an. Welcher ist der kleinste, welcher der größte und welcher liegt dazwischen? Ihr habt es richtig erkannt, β ist der kleinste Winkel, γ ist der größte Winkel und α liegt dazwischen. Also können wir schreiben, β < α < γ. Nun vermessen wir das rechte Dreieck. Für a erhalte ich 15cm, für b messe ich 24,2cm - naja, wenn ich eine Kommastelle mitnehme, muss ich dann auch für a exakterweise 15,0cm schreiben -, für c messe ich 18,7cm. Nun werden die Winkel ausgemessen: α=40°, β=95° und γ=45°. Und wieder das gleiche Problem: Welche Seite ist die kürzeste, welche ist die längste und welche liegt dazwischen? Richtig, a ist die kürzeste Seite, c ist die mittlere Seite und die längste Seite ist b. Also können wir schreiben: a < c < b. Und was können wir über die Winkel sagen? Richtig, der kleinste Winkel ist α, und der größte Winkel ist β, γ liegt dazwischen. Also schreiben wir: α < γ < β. Ist euch bei den Ungleichungen etwas aufgefallen? Schaut einmal, in welcher Reihenfolge immer die Längen der Seiten angeordnet sind und vergleicht diese mit den Ungleichungen für die Winkel. Beim linken Dreieck ist a die kürzeste Seite und α der kleinste Winkel, beim mittleren Dreieck ist b die kürzeste Seite und β der kleinste Winkel und rechts ist wieder a die kürzeste Seite und α der kleinste Winkel. Könnt ihr die gefundenen Ergebnisse verallgemeinern? Vielleicht so: Der kleinsten Seite liegt der kleinste Winkel gegenüber. Wie sieht es mit der größten Seite aus? Bei dem linken Dreieck liegt der größten Seite c der Winkel γ gegenüber, bei dem mittleren Dreieck liegt der größten Seite c der Winkel γ gegenüber, und bei dem rechten Dreieck liegt der größten Seite b der Winkel β gegenüber. Könnt ihr diese Ergebnisse verallgemeinern? Vielleicht so: Der größten Seite liegt der größte Winkel gegenüber. So, und nun denkt ihr, das Video ist zu Ende. Nein, das ist noch nicht zu Ende, wir werden nämlich noch 2 Spezialfälle betrachten. Einen Sonderfall zeige ich euch hier. Um was für ein Dreieck handelt es sich? Ich glaube, ihr habt es schon gesehen, aber ich möchte ganz sicher sein. Ich messe die eine Seite und die andere, die linke und die rechte Seite. Es ist tatsächlich so, a=19,8cm und b ist auch gleich 19,8cm. Es ist also ein gleichschenkliges Dreieck. So, jetzt messe ich noch die Winkel aus, die wir als Basiswinkel bezeichnen. Auf den einen zeigt schon mein großer, dicker Pfeil: α=45°. Ja, und auch β wird vermessen, der Pfeil zeigt auf den Winkel und wieder erhalten wir den gleichen Wert: β=45°. Versuchen wir, zu verallgemeinern: Wenn wir ein gleichschenkliges Dreieck haben, 2 Seiten sind gleich lang - dorthin zeigen die roten Pfeile -, dann sind auch 2 Winkel, nämlich die jeweils gegenüberliegenden Winkel - grüne Pfeile - gleich groß. Könnt ihr einen Merksatz formulieren? Vielleicht so: Gleich langen Seiten liegen gleich große Winkel gegenüber. So, und bevor ich Ärger mit der Deutschlehrerin bekomme, schreibe ich einmal "gleich langen" auseinander. Und zum Abschluss habe ich noch dieses Dreieck. Habt ihr erkannt, um was für ein Dreieck es sich hier handelt? Ich glaube, ihr habt es schon erraten, aber ich möchte noch mal ganz sicher sein. Die Seite a beträgt 19,8cm, die Seite b beträgt 19,8cm und auch die Seite c beträgt 19,8cm. Das heißt, es ist ein - richtig - gleichschenkliges Dreieck. Wenn die Seiten gleich lang sind, dann müssen auch die gegenüberliegenden Winkel gleich lang sein, also: α=β=γ. Und ihr könnt euch sicher genau erinnern, dass die Summe der 3 Innenwinkel in einem Dreieck 180° beträgt, also: α+β+γ=180°. So, jetzt ist aber α=β und α ist auch gleich γ, also können wir schreiben: α+α+α=180°. Naja, wenn 3 solche α 180° sind, dann ist ein einziges α=60°. Aber das wusstet ihr ja schon aus einem vorigen Video, nicht? So, und schon sind wir wieder am Ende. Ich hoffe, ihr hattet genauso viel Spaß wie ich auch. Ich wünsche euch viel Erfolg und Gesundheit. Alles Gute, tschüss!        

Informationen zum Video
20 Kommentare
  1. 001

    Ich habe nochmal nachgeschaut. Einmal wurde gleichschenklig gesagt, wo gleichseitig korrekter wäre. Diese olle Kamelle wurde aber schon vor langer Zeit besprochen.

    A. O.

    Von André Otto, vor 3 Monaten
  2. 001

    Derartige Fehler gibt es im Video nicht. Gleichschenklig wurde als solches richtig bezeichnet. Gleichseitige Dreiecke tauchen nicht auf. "z. B." impliziert, dass mehrere Fehler der Art vorhanden sind. Das stimmt nicht.

    André Otto

    Von André Otto, vor 3 Monaten
  3. Default

    Fehler bei der Benennung der Dreiecke. z. B. gleichseitiges Dreieck

    Von Jens Schult, vor 3 Monaten
  4. Default

    hi

    Von Smakulla, vor 4 Monaten
  5. 001

    Hallo,
    als ich die Reihe abdrehte, bin ich davon ausgegangen, dass man es für die jüngeren Jahrgänge gut und klar erklären muss.
    Mit dem Sprechtempo ist das so eine Sache; zu schnell und man redet über die Köpfe weg, zu langsam und man langweilt.
    Übrigens taugt die gesamte Diskussion darüber nicht viel. Es ist schon von Bedeutung, ob sich hier ein Drittklässler oder ein Sechstklässler äußert.
    Es ist Zeitverschwendung, sich Videos anzuschauen, deren Inhalt man gut kennt. Dann ist auch klar, dass der Inhalt langweilig ist.
    Schnelle Videos, die niemand versteht, sind völlig zwecklos.
    Viele Grüße

    Von André Otto, vor 8 Monaten
  1. Default

    tolles Video ;)
    Jetzt verstehe ich zu mindestens einen kleinen Teil der Geometrie ;9
    PS:Manche mag es vllt stören das sie so langsam reden, aber ich finde das sehr gut, da man kurz überlegen kann, das Bild länger vor Augen hat und die Information sich besser einprägen kann ;)

    Von Angelinaalizee, vor 8 Monaten
  2. 001

    Das Dreieck ist gleichschenklig, aber auch gleichseitig. Jedes gleichseitige Dreieck ist gleichschenklig. Die Umkehrung gilt nicht.
    Natürlich muss an der Stelle das Wort "gleichseitig" fallen.
    Vielen Dank für den Hinweis.
    Alles Gute und viel Erfolg

    Von André Otto, vor 12 Monaten
  3. Default

    11:22 Es ist ein gleichseitiges Dreieck und kein gleichschänkliges!

    Von Viktor Hauser, vor 12 Monaten
  4. 001

    Auch Mathelehrer haben noch Reserven.

    Alles Gute

    Von André Otto, vor etwa einem Jahr
  5. Default

    Danke!!! Viel besser als mein Mathelehrer :)

    Von Martina 10, vor etwa einem Jahr
  6. Default

    Danke André Otto!

    Von 4africa, vor etwa einem Jahr
  7. Default

    Danke sehr gut erklärt :)

    Von Tiktak Taktik, vor mehr als einem Jahr
  8. 001

    Noch viel Erfolg!

    Von André Otto, vor mehr als einem Jahr
  9. Default

    vielen dank

    Von L Jovanovic, vor mehr als einem Jahr
  10. Default

    Danke :)

    Von Oldionabdija, vor fast 2 Jahren
  11. Default

    Von Oldionabdija, vor fast 2 Jahren
  12. Default

    ich verstehe sachen beim zusehen viel besser :D

    Von Lmichael Dingfeld, vor mehr als 2 Jahren
  13. 001

    Jeder fängt mal klein an und muss aus Fehlern lernen.
    Alles Gute

    Von André Otto, vor mehr als 2 Jahren
  14. Default

    Ganz gut, ich würde das Viedeo beim außmessen bloß etwas kürzen-schneller spuhlen.

    Von Ewalch, vor mehr als 2 Jahren
  15. Default

    Super

    Von J/Kearney, vor fast 3 Jahren
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