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Transkript Gegenseitige Lage Gerade-Kugel (2)

Gegeben ist eine Kugel, kam schon mal in einem Film vor, ich hab es einfach nicht geändert. Gegeben ist weiter eine Gerade. Und man kann jetzt entscheiden, ob diese Gerade eine Passante, eine Tangente oder eine Sekante ist. Nicht nur, indem man die Anzahl der Schnittpunkte dieser beiden bestimmt, sondern indem man den Abstand der Geraden zum Mittelpunkt der Kugel bestimmt.

Hier wissen wir schon es ist eine Sekante, weil es schon mal in einem anderen Film vorgekommen ist, aber mal angenommen wir wissen das nicht.

Wenn der Abstand der Geraden zum Mittelpunkt der Kugel kleiner ist als der Radius, dann ist es eine Sekante, wenn der Abstand gleich ist, dann ist es eine Tangente, und wenn der Abstand größer als der Radius ist, dann ist es eine Passante. Genau, ich hätte es nicht schöner zeigen können.

Und wie macht man das? Man bestimmt den Abstand einer Geraden von einem Punkt, in dem man das hier mit dieser freundlichen Gleichung macht. Ich schreibe das mal hier auf. Wir haben einen Stützvektor. Ich könnte das jetzt konkret nehmen, aber ich wollte es eben allgemein aufschreiben. Wir haben (S->+ λ×r->) das macht eine Gerade aus R, wie Richtungsvektor. Wir möchten den Lotfußpunkt, des Mittelpunktes der Kugel, auf die Gerade bestimmen, d. h. hier ist der Mittelpunkt, das ist ein Vektor, nämlich der Vektor, der vom Koordinatenursprung zum Mittelpunkt der Kugel führt. Oder man schreibt auch Vektor M oder so, ist egal. Und da geht die Klammer zu und da kommt das Kanalprodukt. Ich mache jetzt einen Punkt, manche schreiben auch Stern oder so, ×r-> wie Richtungsvektor. Das muss =0 sein. D. h. wir suchen ein λ, ich kann das mal eben so zeigen. Hier ist der Kugelmittelpunkt und hier ist die Gerade und die Differenz vom Kugelmittelpunkt zum Punkt der Geraden soll so sein, also der Differenzvektor soll so sein, dass er multipliziert mit dem Richtungsvektor der Geraden 0 ergibt. Also, dass hier ein rechter Winkel entsteht. Das bedeutet diese Gleichung, so bestimmt man den Lotfußpunkt, d. h. man müsste jetzt hier diese Werte konkret einsetzen, kann dann nach λ auflösen, kann dieses λ in die Gerade einsetzen und dann hat man einen Punkt, nämlich den Lotfußpunkt. Und dann? Und dann berechnet man den Abstand zwischen dem Mittelpunkt und dem Lotfußpunkt. Wie? Indem man den Lotfußpunkt von dem Mittelpunkt abzieht und das in Betrag setzt. Genau, indem man den Betrag des Differenzvektors bestimmt, genau. Ist bei Dir wieder Schublade auf, Schublade wieder zu, Dingdong Standardverfahren, 2 Punkte bestimmen den Abstand dieser beiden Punkte. Und dann darf ich noch dazu sagen, das ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Koordinatendifferenzen. Oder einfach, vielleicht kann ich das gerade eben noch hinschreiben. Wenn man jetzt die beiden Punkte hat, wie sollen die noch mal heißen, a und b, oder so. Wir haben die Koordinaten a1 und b1 zum Beispiel und das wird quadriert und a2 minus b2 wird auch quadriert, das ist jetzt die Differenz der Koordinaten, und wenn das quadriert wird, dann haben wir das Quadrat der Differenz, der Koordinaten und das wird dann alles summiert und hinterher kommt noch die Wurzel drüber. Und deshalb ist das die Summe der Quadrate der Koordinatendifferenzen. Aber das war so wie so schon klar, nur zur Wiederholung eben. Dann weiß man nämlich, wie groß der Abstand ist, zwischen Kugelmittelpunkt und Lotfußpunkt, vom Kugelmittelpunkt auf die Gerade. Und dann muss man das mit dem Radius vergleichen, hier nämlich, 3. Hier steht nämlich 3, daran sieht man das und dabei würde natürlich raus kommen, dass die Gerade eine Sekante ist, weil der Abstand geringer ist als 3.

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