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Transkript Gebrochenrationale Funktionen – Symmetrie

Hallo! Wir haben hier eine freundliche, rationale Funktion. Sie lautet f(x)=x2+2x-4 -das ist der Zähler und im Nenner haben wir x-2. Definitionsbereich selbstständig alle reellen Zahlen ohne die 2. Wir möchte wissen ob diese Funktion achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch ist. Dabei geht es um die Achsensymmetrie zur y-Achse und die Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung, also zum Punkt (0|0). Nur diese beiden Symmetrien möchte ich hier betrachten. Wie geht man da vor? Man hat ja 2 sehr einfache Formeln für die Achsen- und die Punktsymmetrie. Nämlich für die Achsensymmetrie f(x)=f(-x) und für die Punktsymmetrie f(x)=-f(-x). Es gibt da auch andere Versionen von, ist ja egal. Diese Formel ist so einfach, dass du da glaube ich mit zurechtkommst. Da kann man einfach statt f(x) oder f(-x) einfach diesen Term hier einsetzen in die Formel und dann kann man das ausrechnen. Ausrechnen im Sinne von, man bestimmt die Lösungsmenge der dann entstandenen Gleichung, und wenn die Lösungsmenge gleich R ist, also wenn die Gleichung richtig ist für alle reellen Zahlen, dann ist die Funktion dann zum Beispiel achsensymmetrisch und wenn nicht, ist die nicht achsensymmetrisch. So einfach kann das sein. Also hier ist noch mal die Formel für die Achsensymmetrie zur y-Achse, die ist f(x)=f(-x). Ich habe jetzt einfach hier in den Funktionsterm überall da, wo ein x steht, ein -x hingeschrieben. Das habe ich hier gemacht. Muss mich mal orientieren, was ich hier überhaupt gemacht habe. Also ich habe quasi dieses Ding habe ich hierhin geschrieben, ich habe die Seiten vertauscht. Aber wenn ich das jetzt verstanden habe, dann wirst du das auch verstehen. Wir haben hier (-x)2, die Klammer ist wichtig, nicht bitte einfach ohne Klammern -x2 schreiben, denn das würde ja heißen, dass einfach nur das x quadriert wird und danach das - Zeichen davorgeschrieben wird. Das wollen wir hier nicht haben! Wir wollen wirklich nur innerhalb des x'es das -x haben. Sonst steht hier +2x und dann wird daraus ein -2x und -4 bleibt. Da habe ich auch einfach für x -x eingesetzt und hier habe ich den Funktionsterm einfach noch mal hingeschrieben, also dieser Funktionsterm steht jetzt hier. Dann entsteht eine Gleichung, die man -also wenn man jetzt mit -x und -2 und mit x und -2 jeweils multipliziert, dann entsteht diese Gleichung hier die etwas länglich ist aber nichts weiter hergibt. Habe sie mal komplett hingeschrieben, denn ich hoffe ja, dass du das alles nachrechnest und dich nicht einfach nur berieseln lässt. Denn nur wenn man es selber rechnet, dann lernt man was! Durch Fernsehen wird man in der Regel nicht schlauer, auch hier nicht. Es kommt, wenn man das alles dann Miteinander vernünftig verrechnet und vereinfacht, kommt 2x3=0 raus. Diese Gleichung hat eine Lösung, aber die Lösungsmenge ist eben nicht gleich die Menge der reellen Zahlen. Die Gleichung ist nur richtig für x=0 und deshalb ist die Funktion nicht achsensymmetrisch. Punktsymmetrie das Gleiche. Auch das habe ich hier schon mal vorbereitet. Ich habe jetzt hier die Definition verwendet f(-x)=-f(x) und habe das dann entsprechend hier auch hingeschrieben. Hier steht also f(-x), das ist bekannt, das habe ich gerade auch schon gehabt- und hier steht -f(x), und da ich hier das - Zeichen vergessen habe, habe ich da einfach mal -1 dahintergeschrieben. Ich hoffe das bringt dich nicht durcheinander. Das kann man dann vereinfachen, man multipliziert mit x-2 und man multipliziert mit -x-2. Erhält dann wieder eine etwas längliche Gleichung. Da steht sie komplett. Man kann das vereinfachen, wir haben dann die Gleichung 0=8x2-16 und das ist äquivalent zu der Gleichung x2=2. Auch x2=2 hat Lösungen. Was heißt auch, also die hatte ja nur 1 Lösung. x2=2 hat 2 Lösungen. Aber das reicht eben nicht. Das sind nicht alle reellen Zahlen und deshalb ist die Funktion auch nicht punktsymmetrisch zum Ursprung und damit liegt, wenn man nur die Punktsymmetrie zum Ursprung und nur die Achsensymmetrie zur y-Achse behandelt, dann ist diese Funktion eben nicht symmetrisch. Und damit ist der Film hier beendet! Viel Spaß damit, tschüss!

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2 Kommentare
  1. Sarah2

    @Kobe: Leider verstehe ich deine Frage nicht genau. Wenn du meinst, dass du nach dem ersten Schritt, nämlich f(x) und f(-x) gegenüberzustellen, nur richtig mit Hilfe der Vorzeichen begründest, dass die Funktionen (nicht) gleich sind, geht das auch. Der obige Weg ist aber insofern gut geeignet, weil er ohne viele weitere Erklärungen und Begründungen auskommt. Wenn du weitere oder andere Fragen hast, wende dich bitte an den Fach-Chat, der täglich von 17 bis 19 Uhr online ist. Viele Grüße!

    Von Sarah Kriz, vor mehr als einem Jahr
  2. Default

    Warum muss ich es noch multiplizieren? recht es nicht, wenn ich (-x) einsetze und gucke, ob sich das Vorzeichen verändert ?

    Von Kobe, vor mehr als einem Jahr