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Gebrochenrationale Funktionen – Nullstellen

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Team Digital
Gebrochenrationale Funktionen – Nullstellen
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse

Grundlagen zum Thema Gebrochenrationale Funktionen – Nullstellen

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, die Nullstellen von gebrochenrationalen Funktionen zu bestimmen.

Zunächst lernst du, wie du die Nullstellen des Zählers einer gebrochenrationalen Funktion bestimmen kannst. Anschließend erfährst du, warum du auch die Nullstellen des Nenners bestimmen solltest. Abschließend erfährst du, dass nur Nullstellen des Zählers, die keine Definitionslücken sind, Nullstellen der gebrochenrationalen Funktion sein können.

Gebrochenrationale Funktionen Nullstellen

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie gebrochenrationale Funktion, Zählerfunktion, Nennerfunktion, Nullstelle und Definitionslücke.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits die p/q- bzw. Mitternachtsformel kennen. Außerdem solltest du grundlegendes Wissen zu ganzrationalen Funktionen haben.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, zu lernen, welche Arten von Definitionslücken und Asymptoten es bei gebrochenrationalen Funktionen gibt.

Transkript Gebrochenrationale Funktionen – Nullstellen

"Gebrochenrationale Funktionen" Ein Thema, dem sich meistens mit einer gewissen Skepsis genähert wird. Aber wenn man einmal ins kalte Wasser gesprungen ist, ist es gar nicht so schlimm wie erwartet – versprochen! In diesem Video schauen wir uns erstmal an, wie wir die "NULLSTELLEN von gebrochenrationalen Funktionen" berechnen können. Zugegeben: Wenn wir SOLCHE Funktionsgleichungen vor uns haben und es unsere Aufgabe ist, die Nullstellen von diesen zu berechnen, kostet es vielleicht erstmal etwas Überwindung, sich da ran zu wagen. Aber es ist längst nicht so schwierig, wie es auf den ersten Blick vielleicht aussieht. Zuerst machen wir uns nochmal kurz klar, was wir da vor uns haben. Die Funktionen sind "gebrochen-rational", weil wir sowohl im Zähler als auch im Nenner ganzrationale Funktionen haben. Etwas vereinfacht ausgedrückt heißt das: Über und unter den Bruchstrichen finden wir Terme, die jeweils die unabhängige Variable x enthalten. Wie können wir an solche Funktionen jetzt rangehen, um ihre Nullstellen zu bestimmen? Wie bei allen anderen Funktionen auch, suchen wir die x-Werte, für die wir den Funktionswert Null erhalten und setzen daher die Funktionsterme gleich null. Dann hilft uns ein grundlegender Gedanke weiter: Wann haben Brüche eigentlich den Wert Null? Das ist dann (und zwar nur dann der Fall), wenn der Zähler gleich null ist. Und wenn der Zähler gleich null ist, ist es auch fast egal, was im Nenner steht. Der Wert eines solchen Bruches wird (wenn er definiert ist) immer Null sein! Um die Nullstellen zu berechnen, müssen wir also zunächst nur die Zähler betrachten! Und DIESE Gleichungen kommen einem in ihrer Erscheinungsform doch schon deutlich bekannter vor. Wir schauen uns zuerst DIE hier an. Diese Gleichung ist mit Hilfe der "pq"- beziehungsweise der Mitternachtsformel schnell gelöst. Wir erhalten zwei Lösungen für die Gleichung. Sind das dann auch schon unsere Nullstellen? Potenziell schon, aber eine Sache müssen wir bei "gebrochenrationalen" Funktionen noch bedenken, um ganz sicher zu gehen. Und zwar, dass die Definitionsmenge (also die Menge an Zahlen, für die die Funktion überhaupt definiert ist) bei gebrochenrationalen Funktionen etwas eingeschränkt wird. Denn wenn wir für x einen Wert wählen, für den der NENNER den Wert null annimmt, teilen wir de facto durch Null. Das ist aber (wie dir von deiner Mathelehrkraft sicherlich schon eingeschärft wurde) ein absolutes Tabu! "Geteilt durch Null" ist mathematisch nicht definiert, weshalb gebrochenrationale Funktionen an den Nullstellen des Nenners sogenannte "Definitionslücken" haben. Also müssen wir auch für DIESEN Term noch schnell die Nullstellen bestimmen, indem wir ihn gleich null setzen. Wir sehen: In unserem Fall stimmen die Nullstellen des Zählers nicht mit der Nullstelle des Nenners (also der Definitionslücke) überein. Es handelt sich bei den Nullstellen des Zählers also tatsächlich um Nullstellen der Funktion als Ganzes. Wir schauen uns die Vorgehensweise noch schnell an dem zweiten Beispiel an. Du kannst es ja auch mal selbst versuchen und dein Ergebnis dann vergleichen. Zuerst berechnen wir also wieder die Nullstellen des Zählers. Dafür können wir hier wieder die "pq"- oder "Mitternachtsformel" anwenden und kommen so auf die Nullstellen "fünf" und "minus drei". Ob die Nullstellen des Zählers auch Nullstellen der gesamten Funktion sind, überprüfen wir dann noch schnell, indem wir die Definitionslücken der gebrochenrationalen Funktion bestimmen. Praktischerweise sind die Nullstellen des Nenners schon fast ablesbar. Aus der ersten Klammer folgt, dass die eine Definitionslücke bei "x gleich eins" gegeben ist und die zweite Klammer müssen wir schnell noch gleich null setzen und als quadratische Gleichung lösen. AHA! Erwischt! Die Stelle "Minus drei", die sich frecherweise erst als Nullstelle ausgegeben hat, zeigt nun ihr wahres Gesicht! Es handelt sich um eine skrupellose Definitionslücke. Da die Funktion an dieser Stelle nicht definiert ist (sprich überhaupt keinen Funktionswert annimmt), kann sie an dieser Stelle auch nicht den Wert Null annehmen. Die Funktion hat also nur EINE Nullstelle und zwar bei "x gleich fünf". Das hätte uns auch durch die Lappen gehen können. Zum Glück haben wir uns aber pflichtbewusst an die Vorgehensweise gehalten. Und DIE schauen wir uns jetzt auch nochmal schnell in einer Zusammenfassung an. Nullstellen von gebrochenrationalen Funktionen zu berechnen, ist eigentlich ganz leicht, wenn wir die Nullstellen von GANZrationalen Funktionen berechnen können. Denn genau darauf können wir unser Vorgehen letztendlich zurückführen. Zuerst berechnen wir die Nullstellen des ZÄHLERS, denn nur wenn der gleich Null ist, kann auch die Funktion insgesamt den Funktionswert "Null" annehmen. Zweitens müssen wir dann nur noch die Definitionslücken der Funktion beachten, die wir herausfinden, indem wir den NENNER gleich null setzen. Denn an Stellen, an denen die Funktion nicht definiert ist, kann sie natürlich auch keine Nullstelle haben. Das sollte mit ein bisschen Übung schnell sitzen. Und bevor das Wasser dann doch zu kalt wird, kann man sich ja mal zwischendurch ein bisschen aufwärmen.

Gebrochenrationale Funktionen – Nullstellen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gebrochenrationale Funktionen – Nullstellen kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion bestimmt werden.

    Tipps

    Bestimme zuerst die Nullstellen der Zählerfunktion $p(x)$.

    Schreibe zuletzt alle Nullstellen der Zählerfunktion $p(x)$ auf, die keine Nullstellen der Nennerfunktion $q(x)$ sind. Nur diese sind Nullstellen von $f$.

    Notiere die Lösungen einer Gleichung direkt, nachdem du die Gleichung gelöst hast.

    Lösung

    Eine gebrochenrationale Funktion $f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}$ nimmt an einer Stelle $x$ genau dann den Wert $0$ an, wenn der Zähler den Wert $0$ annimmt. Um mögliche Nullstellen von $f$ zu finden, löst du die also die Gleichung $p(x)=0$.
    Die Nullstellen des Nenners $q(x)=$ sind Definitionslücken der Funktion $f(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)}$. Nur diejenigen Nullstellen der Zählerfunktion $p$, die keine Definitionslücken von $f$ sind, sind auch Nullstellen der Funktion $f$.
    Um Definitionslücken auszuschließen, bestimmst du also noch die Nullstellen der Nennerfunktion $q$. Als Nullstellen von $f$ schreibst du alle Nullstellen der Zählerfunktion $p$ auf, die keine Nullstellen der Nennerfunktion $q$ sind.


    Bei der konkreten Funktion $f(x)= \dfrac{x^2+4x-5}{x-2}$ gehst du also in der folgenden Reihenfolge vor:

    1. Setze den Funktionsterm $p(x) = x^2+4x-5$ gleich null.

    2. Löse die Gleichung $x^2+4x-5=0$ mit der $pq$-Formel.

    3. Notiere die Lösungen als potenzielle Nullstellen.

    4. Setze den Funktionsterm $q(x)=x-2$ gleich null.

    5. Löse die Gleichung $x-2=0$.

    6. Notiere die Lösungen als Definitionslücken der Funktion $f$.

    7. Schreibe alle Lösungen der Gleichung $p(x)=0$ auf, die keine Definitionslücken von $f$ sind. Dies sind Nullstellen von $f$.

  • Vervollständige die Sätze.

    Tipps

    Setze $x$ in die Funktion $f$ oder $g$ ein: Nur wenn $0$ herauskommt, kann dieses $x$ eine Nullstelle der Funktion sein.

    Ist $x$ eine Definitionslücke von $f$, so gehört es nicht zu den Nullstellen.

    Um die möglichen Nullstellen von ${f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}}$ zu finden, musst du die Gleichung $p(x)=0$ lösen.
    Um die Definitionslücken zu finden, löst du die Gleichung $q(x)=0$.

    Lösung

    Die Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion $f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}$ sind Nullstellen der Zählerfunktion $p(x)$. Denn der Bruch $\dfrac{p(x)}{q(x)}$ ist genau dann null, wenn der Zähler null ist. Um die möglichen Nullstellen der gebrochenrationalen Gleichung zu finden, musst du also die Gleichung $p(x)=0$ lösen.

    Hat die Nennerfunktion $q(x)$ eine Nullstelle, so ist der Bruch $\dfrac{p(x)}{q(x)}$ nicht definiert. Die Nullstellen der Nennerfunktion sind daher Definitionslücken der Funktion $f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}$. Um die Definitionslücken zu finden, musst du die Gleichung $q(x)=0$ lösen.

    Nullstellen der gebrochenrationalen Funktion $f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}$ sind dann alle diejenigen Nullstellen von $p(x)$, die nicht zugleich Nullstellen von $q(x)$ sind.


    Die Nullstellen der Zählerfunktion von $f(x)=\dfrac{x^2+4x-5}{x-2}$ sind $x_1=1$ und $x_2=-5$. Die einzige Nullstelle der Nennerfunktion, also die Definitionslücken von $f$, ist $x=2$. Daher sind $x_1=1$ und $x_2=-5$ die Nullstellen von $f$.

    Bei der Funktion $g(x)=\dfrac{x^2-2x-15}{(x-1)\cdot(x^2-9)}$ kannst du die Nullstellen des Zählers mit der $pq$-Formel bestimmen und erhältst $x_1=5$ und $x_2=-3$.

    Als Nullstellen des Nenners erhältst du $x_1=1$ und $x_2=3$ und $x_3=-3$.

    Die Stelle $x=-3$ ist also zwar eine Nullstelle des Zählers, gehört aber nicht zum Definitionsbereich der Funktion $f$, sondern ist eine Definitionslücke von $f$. Die einzige Nullstelle von $f$ ist demnach $x=5$.


    Du erhältst also folgende korrekt vervollständigten Sätze:

    • $x=2$ ist eine Definitionslücke der Funktion $f$.
    • $x=-5$ ist eine Nullstelle der Funktion $f$.
    • $x=-3$ ist eine Nullstelle von $p(x)=x^2-2x-15$, aber keine Nullstelle von $g$.
    • $x=5$ ist die einzige Nullstelle der Funktion $g$.

  • Bestimme die Nullstellen der beiden gebrochenrationalen Funktionen.

    Tipps

    Setze den Zähler gleich null, um mögliche Nullstellen der gebrochenrationalen Funktion zu finden.

    Setze den Nenner gleich null, um die Definitionslücken zu ermitteln.

    Die einzige Nullstelle der Funktion ${h(x)=\dfrac{(x-2)\cdot(x+1)}{(x^2-1)}}$ ist $x=2$, denn $x=-1$ ist eine Definitionslücke.

    Lösung

    Die Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion $f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}$ sind diejenigen Nullstellen des Zählers $p(x)$, die keine Definitionslücken von $f$ sind. Die Definitionslücken der Funktion $f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}$ sind die Nullstellen des Nenners $q(x)$.


    Um die Nullstellen und Definitionslücken der Funktion $f(x)=\dfrac{x^2+2x}{x+3}$ zu bestimmen, berechnen wir also die Nullstellen des Zählers $p(x) = x^2+2x$ und des Nenners $q(x) = x+3$.
    Setzen wir den Zähler gleich null, erhalten wir die Gleichung $x^2+2x=0$.
    Mit der $pq$-Formel oder durch den Satz vom Nullprodukt ermitteln wir die Lösungen $x_1=0$ und $x_2=-2$.
    Setzen wir den Nenner gleich null, ergibt sich die lineare Gleichung $x+3=0$ mit der Lösung $x=-3$.
    Da die Definitionslücke $x=-3$ keine Nullstelle des Zählers ist, sind alle Nullstellen des Zählers auch Nullstellen der Funktion $f$.


    Ganz analog verfahren wir mit der Funktion $g(x)=\dfrac{x^2-1}{(x+1)\cdot (x-2)}$: Setzen wir den Zähler gleich null, ermitteln wir mit der $pq$-Formel die Lösungen $x_1=1$ und $x_2=-1$.
    Der Nenner liegt bereits in faktorisierter Form vor und wir lesen die Nullstellen $x_1=-1$ und $x_2=2$ anhand der Linearfaktoren ab.
    Da $-1$ eine Definitionslücke der Funktion $f$ ist, gehört sie nicht zu deren Nullstellen, obwohl der Zähler von $f$ bei $x=-1$ den Wert $0$ annimmt.


    Wir erhalten also die folgenden Zuordnungen:

    1. Funktion: $\boldsymbol{f(x)= f(x)=\dfrac{x^2+2x}{x+3}}$

    • Nullstellen: $x=0$ und $x=-2$
    • Definitionslücke: $x=-3$

    2. Funktion: $\boldsymbol{g(x)=\dfrac{x^2-1}{(x+1)\cdot (x-2)}}$

    • Nullstelle: $x=1$
    • Definitionslücken: $x=-1$ und $x=2$
  • Bestimme die Nullstellen und Definitionslücken.

    Tipps

    Wende die $pq$-Formel auf die erste Klammer im Zähler von $f$ an.

    Nullstellen der Nennerfunktion zählen nicht zu den Nullstellen der gebrochenrationalen Funktion.

    Die Funktion $\dfrac{(x+2)\cdot (x-3)}{(x-2) \cdot (x-3)}$ hat nur die Nullstelle $x=-2$.

    Lösung

    Um die potenziellen Nullstellen zu finden, bestimmst du die Nullstellen der Zählerfunktion und der Nennerfunktion. Nullstellen der gebrochenrationalen Funktion $f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}$ sind alle Nullstellen von $p$, die keine Nullstellen von $q$ sind.


    Funktion $f$:

    • Die Zählerfunktion $p(x)=(x^2-7x+12)\cdot (x+2)$ hat die Nullstellen $x=3$, $x=4$ und $x=-2$. Die beiden ersten Nullstellen erhältst du aus der $pq$-Formel, die auf die erste Klammer angewandt wurde.
    • Die Nennerfunktion $q(x)=x^2-5x+6$ hat die Nullstellen $x=2$ und $x=3$.
    • Da $x=3$ eine Definitionslücke von $f$ ist, sind die Nullstellen von $f$ nur $x=4$ und $x=-2$.

    Funktion $g$:

    • Die Zählerfunktion $p(x)=x^2-4x-5$ hat die Nullstellen $x=-1$ und $x=5$.
    • Die Nennerfunktion $q(x)=x^2-1$ hat die Nullstellen $x=1$ und $x=-1$.
    • Die einzige Nullstelle von $f$ ist $x=5$, denn $x=-1$ ist eine Definitionslücke.

  • Gib die Funktionsgraphen an, die Nullstellen besitzen.

    Tipps

    Die Nullstellen einer Funktion entsprechen den Punkten ${(x|y)=(x|f(x))}$, bei denen $y=0$ ist.

    Die Gleichung $y=0$ charakterisiert die $x$-Achse.

    Dieser Funktionsgraph gehört zu einer Funktion mit den Nullstellen $x=-1$ und $x=3$.

    Lösung

    Die Nullstellen einer Funktion $f$ entsprechen den Punkten $(x|y)=(x|f(x))$ des Funktionsgraphen, für die $y=f(x)=0$ gilt. Diese Punkte sind genau die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der $x$-Achse: $y=0$. Die Nullstellen der Funktion $f$ sind also die Schnittstellen mit der $x$-Achse.

    Eine Funktion $f$ hat Nullstellen genau dann, wenn der Funktionsgraph die $x$-Achse schneidet:
    In dieser Aufgabe haben drei Funktionsgraphen solche Schnittpunkte mit der $x$-Achse. Die anderen beiden Funktionsgraphen schneiden die $x$-Achse nicht, weshalb die zugehörigen Funktionen keine Nullstellen haben.

  • Erschließe die Funkionsterme.

    Tipps

    Bestimme die Nullstellen der Funktionen und vergleiche mit den Funktionsgraphen.

    Definitionslücken einer Funktion können zu Polstellen im Funktionsgraphen führen.

    Lösung

    Die Zuordnung der Funktionsterme ergibt sich aus den Nullstellen und gegebenenfalls den Definitionslücken:

    Funktionsterme zu den Funktionsgraphen:

    • $f(x)=\dfrac{x^3-7x^2+12x}{x-3}$ hat nur die Nullstellen $x=0$ und $x=4$, denn die Nullstelle der Zählerfunktion $x=3$ ist auch eine Nullstelle der Nennerfunktion und somit eine Definitionslücke der Funktion $f$.
    • $f(x)=\dfrac{x^2-x-6}{x-5}$ hat die Nullstellen $x=-2$ und $x=3$. Die Definitionslücke $x=5$ ist eine Polstelle, ist aber in dem Ausschnitt des Funktionsgraphen nicht zu sehen.
    • $f(x)=\dfrac{x^4-3x^3-4x^2}{x-4}$ hat eine doppelte Nullstelle bei $x=0$ und eine einfache Nullstelle bei $x=-1$. Die Nullstelle der Zählerfunktion $x=4$ ist hier auch gleichzeitig eine Nullstelle der Nennerfunktion und somit liegt eine Definitionslücke vor.
    • $f(x)=\dfrac{x^2+2x-3}{x^2}$ hat eine Polstelle bei der Definitionslücke $x=0$ und hat die Nullstellen $x=-3$ und $x=1$.

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