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Transkript Gebrochenrationale Funktionen – Nullstellen

Hallo! Hier ist eine rationale Funktion f(x) = (x2 + 2x - 4) / (x - 2) und wir wollen wissen, wo sind die Nullstellen dieser Funktion. Das geht so: Wir überlegen uns, der Funktionsterm ist ein Bruch. Wir wissen ein Bruch ist genau dann 0, wenn der Zähler gleich 0 ist und der Nenner ungleich 0 ist. Das heißt, wir müssten Mal den Zähler gleich 0 setzen und dann gucken was wir da rauskriegen, und dann müssen wir gucken, ob an der Stelle der Nenner ungleich 0 ist oder gleich 0 ist. Der Zähler ist ein Polynom zweiten Grades oder manchmal sagt man auch ein quadratischer Term. Oder wie man immer das bezeichnet, ist egal. Auf jeden Fall wird er gleich 0 gesetzt, dann erhalten wir eine Gleichung, die du hoffentlich lösen kannst. Hier ist die Gleichung: x2 + 2x - 4 = 0 und das ist eine ganz normale quadratische Gleichung. Diese quadratische Gleichung ist sogar Normalform. Das heißt, wir können ohne Umschweife jede pq-Formel anwenden oder auch eine andere Formel oder es ist mir völlig egal, wie du diese Gleichung löst. Es ist eine quadratische Gleichung und ich gehe davon aus, dass du die lösen kannst. Ich denke wir sind uns einig: x1 = -1 + \sqrt 5; x2 = -1 - \sqrt 5 und das sind die beiden exakten Zahlen. Ich habe hier jeweils einen Näherungswert angegeben mit ein paar Nachkommastellen. Meistens kommen diese Aufgaben, Nullstellenbetrachtung, im Zusammenhang einer gesamten Kurvendiskussion vor. Und vielleicht kommen noch ein paar Anwendungsaufgaben dazu, zu dieser Kurve und da weiß man nie, wozu man diese Dinge hier noch braucht. Lieber ein paar Nachkommastellen mehr angeben als zu wenig, runden kann man immer noch. Ach so, ich wollte noch sagen, man muss ja jetzt sich überlegen, wird an dieser Stelle der Nenner auch 0. Der Nenner wird nur dann 0, wenn x = 2 ist und hier und da ist x nicht gleich 2. Damit haben wir echte Nullstellen an diesen Stellen auf der x-Achse. Und weil das so schnell ging, möchte ich eben ein bisschen was zu dem Graphen zeichnen. Also, wenn du nur diesen Film gesehen hast, dieser Film ist im Zusammenhang zu sehen mit mehreren anderen Filmen, die diese Funktion behandeln. Und ich werde einfach Mal ein paar Erkenntnisse, die man da schon gewonnen hat, hier jetzt in dieses Schaubild hinein projizieren. Auch, wenn du Programme hast, die dir Funktionen zeichnen können oder einen grafikfähigen Taschenrechner oder was auch immer, es ist einfach wichtig, dass du auch selber solche Skizzen machst. Dass du selber das in die Hände kriegst, in das Gefühl kriegst, wie die Funktion verläuft. Ansonsten ist es einfach nur so wie Fernsehen. Da lernt man nicht viel, wenn man einfach nur den Graph am Computer anguckt. So ist es also viel lehrreicher, zumindest meiner Meinung nach. Wir haben eine Asymptote, das ist die Gerade x = 2. Die werde ich hier Mal so stricheln, x = 2. Ja, es sollte eigentlich eine Parallele zur y-Achse sein. Wir wissen, eine Nullstelle ist bei 1,2. Das ist ungefähr da, und eine Nullstelle ist bei -3,2 und wir haben eine Asymptote. Die ist x+4 übrigens und hat deshalb die Steigung 1 und das versuche ich jetzt Mal hier so hinzubasteln. Werde ich auch Mal gestrichelt zeichnen hier. So, da verläuft die Asymptote. Ja, das ist nicht genau, aber ich habe es selbst gemacht. Das ist wichtig an der Stelle. Wir wissen, dass hier in dem Bereich für x > 2 der Funktionsgraph oberhalb der Asymptote ist, also da irgendwo. Und für x gegen 2 gehen die Funktionswerte gegen +unendlich. Das heißt, er muss also hier irgendwie so eine Kurve machen und dann nach oben gehen. Für x gegen 2 von der linken Seite aus gehen die Funktionswerte gegen -unendlich. Das heißt, der Graph muss also hier vorbeilaufen. Wir wissen, er geht in der Höhe 2 durch die y-Achse. Da muss er hier zur Nullstelle kommen, da, und sich dann dieser Asymptote hier annähern. Ja, so ungefähr wird er wohl aussehen und, wenn du das Mal vergleichen möchtest mit einem Grafikprogramm, das entspricht schon ziemlich genau der Situation. Viel besser kann es das Programm auch nicht, aber hier habe ich, glaube ich mehr verstanden, als wenn ich mir das nur auf dem Bildschirm angucke. Dann, viel Spaß damit! Tschüss!

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5 Kommentare
  1. Default

    Und nein, es ist nicht falsch.

    Von Ro Huebsch, vor fast 3 Jahren
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    Man erkennt,dass eine Schiefe Asymptote existiert daran, dass der Zählergrad größer/ gleich dem Nennergrad ist. Die Funktion der Asymptote erhält man indem man eine Polynomdivision durchführt und den Rest, der übrig bleibt, herauskürzt. Ich komme dann auf die Funktion: f(x)=x. Das bedeutet: Steigung gleich 1!

    Von Ro Huebsch, vor fast 3 Jahren
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    das ist doch falsch?!

    Von Ayse K., vor etwa 3 Jahren
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    Ich verstehe nicht, wieso man bei y=4 eine schiefe Asymptote mit der Steigung 1 hat. Wie kommt man darauf?

    Von Nurhak S., vor etwa 3 Jahren
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    ich mag den tutor!!! geil die 2377 videos

    Von Bpjung, vor mehr als 3 Jahren