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Transkript Gebrochenrationale Funktionen mit gegebenen Eigenschaften bestimmen (2)

Hallo! Wir waren so weit mit unserer Funktionsbestimmung, dass wir c=-4 schon bestimmt haben. Das hab ich hier übrigens eingesetzt, hab ich im 1. Teil nicht gesagt, jetzt hol ich das nach, da ist -4 eingesetzt. Naja vielleicht kann man auch darauf kommen, weil da ja -4 steht und da auch. Also für c hab ich -4 eingesetzt und hab dann die Polynomdivision durchgeführt, wir sind auf die Asymptote gekommen und wissen, dass die Steigung der Asymptote gleich 1 sein soll. Wenn wir diese Asymptote ableiten hier, dann bekommen wir einfach nur a. Die Ableitung dieser Asymptote ist a, und da die 1 soll, ist also a=1. Und das hab ich auch noch mal hier heimlich vorbereitet. Also, die Steigung ist 1, deshalb ist a=1 und damit ist unser Zwischenstand hier zur Funktionsbestimmung eben: f(x)=x²+bx-4/x-2. So, und was haben wir noch nicht verwendet? Wir haben noch nicht verwendet, dass da, wo der Graph die y-Achse schneidet, sich ein Hochpunkt befindet. Und wenn sich da ein Hochpunkt befindet, bedeutet das, dass die 1. Ableitung gleich 0 sein muss. Das steht hier quasi, dass die 1. Ableitung gleich 0 sein muss. Und zwar an der Stelle 0, weil ja der Funktionsgraph dort die y-Achse schneidet, wo x=0 ist. Ich hab dann hier noch mal die Quotientenregel der Ableitung aufgeschrieben, falls du die vergessen haben solltest, kann ja mal vorkommen. Natürlich müssen wir hier diese bisher gefundene Funktion nach Quotientenregel ableiten und dann bekommen wir folgende Ableitungen hier: Ich hab also Zähler und Nenner getrennt hingeschrieben. Und das sind die Ableitungen. Ich denke, das bringt dich nicht weiter aus der Ruhe. Und wenn man jetzt die Ableitungen hat, kann man also die Ableitungsfunktionen zusammensetzen und das kommt dann heraus, ich les das mal eben vor: f'(x)=(2x+b)×(x-2)-(x²+bx-4)/(x-2)². Wenn man ein bisschen umformt, bekommt man das hier. Der Zähler ist dann x²-4x-2b+4. Und zum Einen wissen wir, dass nun die 1. Ableitung 0 sein soll, das heißt, der Zähler muss 0 sein. Ein Bruch ist ja nur dann 0, wenn der Zähler 0 ist und deshalb hab ich hier den Zähler gleich 0 gesetzt. Wir wissen, dass dieser Punkt, wo die 1. Ableitung =0 sein muss, also die Stelle auf der x-Achse, die ist beim Nullpunkt, dann ist x also =0, deshalb hab ich das hier eingesetzt und wir wissen f'(0)=0. Und das heißt, ich kann für x hier einfach 0 einsetzen und das Ganze =0 setzen, dann krieg ich also letzten Endes -2b+4=0 und daraus folgt, dass b=2 ist. Damit haben wir jetzt alle Variablen zusammen. Wir wissen a=1, b=2 und c=-4 und haben also aus diesen Angaben hier, ich zeig sie noch mal, da sind unsere ganzen Angaben, aus denen haben wir also die Funktion bestimmt und die sieht jetzt so aus: Tadaaa, wir haben Effekte hier wie im Kasperletheater, da ist unsere freundliche Funktion: f(x)=x²+2x-4/x-2. Man kann sich natürlich noch kurz überlegen, ist das überhaupt hier die richtige Funktion, kann das überhaupt sein? Man kann sich eben überlegen, was passiert, wenn ich für x hier 0 einsetze, z. B., kriege ich dann überhaupt einen Schnittpunkt der y-Achse in der Höhe 2. Und dann sieht man hier -4/-2, wenn man für x 0 einsetzt, das stimmt schon mal. Und ein paar andere Sachen kann man noch überprüfen. Ich lass das hier mal dabei bewenden. Du wirst immer wieder in solchen Aufgaben ein paar Anhaltspunkte finden, die du überprüfen kannst, ob du dann auch richtig gerechnet hast. Denn meistens geht es, wenn so was in der Klausur vorkommt, dann geht es hier noch ein bisschen weiter, dann wird noch mehr gefragt, und wenn du hier schon die falsche Funktion hast, dann kann man sagen: Gute Nacht! Deshalb ist das ganz praktisch das hier noch mal kurz zu überprüfen. Viel Spaß damit, tschüss.

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