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Transkript Gebrochenrationale Funktionen mit gegebenen Eigenschaften bestimmen (1)

Hallo! Wir haben eine rationale Funktion zu bestimmen, und zwar eine mit vorgegebenen Eigenschaften. Der Aufgabentext dazu lautet wie folgt: Eine rationale Funktion mit dem Nenner x-2 schneide die y-Achse im relativen Hochpunkt bei y=2. Der Zähler habe den Grad 2. die Steigung der Asymptote sei 1. Diese Angaben reichen aus, um die Funktion eindeutig rekonstruieren zu können bzw. den Funktionsterm angeben zu können. Abgefragt werden hier viele Standardsachen, da ist nichts Besonderes dabei und das darf einfach so hintereinander funktionieren. Zunächst mal kann man sich darüber Gedanken machen, was ist hier der Definitionsbereich? Der Definitionsbereich besteht aus allen reellen Zahlen ohne die 2, denn wenn x=2 wäre, dann stände im Nenner eine 0 und das ist nicht definiert, und deshalb müssen wir 2 im Definitionsbereich ausschließen. Warum kommt das am Anfang? Das ist immer ganz praktisch, das an den Anfang zu schreiben, denn dann weiß man, falls man irgendwelche Werte für x rausbekommt, irgendwann im Laufe der Rechnung, die =2 sind, dann ist da irgendwas verkehrt, da funktioniert dann was nicht und dann muss man sich weiter Gedanken machen. Wenn man das am Anfang geklärt hat, ist das ganz praktisch, denn dann hat man hinterher keine Schwierigkeiten. Dann wissen wir, im Zähler steht ein Polynom 2. Grades, naja, so sind rationale Funktionen definiert, im Zähler steht ein Polynom, im Nenner steht ein Polynom. Das Nennerpolynom ist angegeben, das ist x-2, und im Zähler, naja, das ist ein Polynom 2. Grades hier, ein allgemeines Polynom, und der Funktionsterm ist dann eindeutig bestimmt, wenn wir a, b und c kennen. Dann müssen wir was verwenden, was hier in diesem Aufgabentext vorkommt, zum Beispiel wissen wir ja, dass die Funktion, genauer kann man auch sagen, der Funktionsgraph, die y-Achse schneidet, und zwar bei y=2. Das bedeutet zunächst mal, dass ja der Funktionswert bei x=0 2 ist, sonst wäre der Funktionsgraph ja gar nicht dort. Dass das da irgendwie ein Hochpunkt ist und so was, da kommen wir später zu. Also wissen wir f(0)=2. Das können wir nun schon mal in diese allgemeine Form des Funktionsterms einsetzen. Das habe ich hier gemacht, a×0=0, b×0=0, es bleibt c/-2 übrig und das =2, woraus nach einfacher Umformung folgt, dass c=-4 ist. So, dann haben wir eine Sache schon mal bestimmt, dann geht's weiter mit der Asymptote. Wir wissen etwas aus dem Aufgabentext über die Asymptote und darum möchte ich mich jetzt kümmern, um diese Asymptote. Da steht hier, die Steigung der Asymptote - der Tisch ist zu klein -, die Steigung der Asymptote soll 1 sein. Da brauchen wir zunächst mal die Asymptote. Die Asymptote bekommen wir, indem wir den Zähler durch den Nenner teilen, hier also eine Polynomdivision durchführen. Das habe ich hier einfach mal gezeigt, ja, ich lese das jetzt nicht alles vor, das ist auch wieder ein Standardkram. Vielleicht ist es ein bisschen ungewöhnlich manchmal, da hier noch a und b als Zusatzvariablen drin sind, vielleicht kennst du das, dass da nur x als Variable vorkommt. Das sollte aber kein Problem sein, das funktioniert genauso, nur muss man dann halt die Variablen hinschreiben, man tut so, als wären das einfach irgendwelche Zahlen, und dann kann man die Polynomdivision auch ganz sauber durchführen. Hier ist ein bisschen was abgemackelt. Ja, und dann geht erwartungsgemäß diese Polynomdivision nicht auf, es bleibt ein Rest von 4a+2b-4, und deshalb können wir die Funktion jetzt schreiben als: f(x)=a×x+2a+b+ der Rest, der hier bei der Polynomdivision rausgekommen ist, nämlich: (4a+2b-4)/(x-2). Wir wissen nun, dass das hier die Asymptote ist. Und diese Asymptote hat eine Steigung, die Steigung soll 1 sein, das heißt, wir müssen diese allgemeine Funktion hier ableiten, also Funktion mit 2 Parametern noch drin. Wir wissen, 2a+b sind, wenn man was für a und b einsetzt, einfach ganz normale Zahlen, die haben mit der Ableitung nichts mehr zu tun, denn hier wird die Ableitung 0, bei diesen beiden Summanden, wir können nur noch a×x ableiten, a×x abgeleitet =a. Und da wir wissen, dass die Steigung überall =1 ist, deshalb ist a=1, das können wir hier direkt sehen. Und wie es dann weitergeht, zeige ich im 2. Teil. Bis dahin. Tschüss!

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2 Kommentare
  1. Default

    Martin, "mackeln" ist rheinisch, net?

    Von First Tomato, vor mehr als 3 Jahren
  2. Default

    Hallo, ich habe zu diesem und anderen Videos von Ihnen leider kein Bild, sondern nur den Ton. (Bei anderen Videos klappt es allerdings). Woran liegt das?

    Von Nina77, vor fast 4 Jahren