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Transkript Gebrochenrationale Funktionen – Extrema und Wendepunkte

Hallo! Wir haben eine rationale Funktion f(x)=(x2+2x-4)/(x-2). Und in diesem Film soll es um die Extrema und die Wendepunkte gehen. Und ich möchte mal das hier, weil dieser Film hier Teil einer Filmreihe ist, der Kurvendiskussion dieser Funktion hier nämlich, möchte ich dann diese Kurvendiskussion abschließen und den Rest hier, den wir noch herausfinden werden, in meine Skizze des Graphen einzeichnen. Zunächst mal die Extrema. Wir brauchen die hinreichende Bedingung dafür, das bedeutet, die 1. Ableitung muss 0 sein, und wenn die 2. Ableitung an dieser Stelle ungleich 0 ist, dann ist die gefundene Stelle eine Extremstelle. So kann man das sagen. Um die 1. Ableitung zu bilden, da es sich hier um einen Bruch handelt, um einen Quotienten, brauchen wir die Quotientenregel, die habe ich hier noch mal hingeschrieben, sollte sie dir vielleicht irgendwann entfallen sein, dann siehst du sie jetzt hier wieder. Das ist alles kein großes Zeugs, deshalb lese ich auch gar nicht alles im Einzelnen vor. Das sind alles so ganz elementare Ableitungen. Übrigens, diese ×1 kommt dadurch zustande, weil hier ja am Ende die Ableitung des Nenners steht, x-1 abgeleitet ergibt einfach 1, und deshalb hab ich hier mal 1 hingeschrieben, um zu dokumentieren, dass ich daran gedacht habe. Da kommt letzten Endes heraus: (x2-4x)/(x-2)2. Hier kann man das x ausklammern und im Zähler steht dann x×(x-4). Warum habe ich das ausklammert? Aus einem einfachen Grund, weil ich jetzt die Nullstellen der 1. Ableitung ablesen kann. Punkt Nr. 1 ist, wir haben einen Bruch. Ein Bruch ist genau dann 0, wenn der Zähler gleich 0 ist und der Nenner ungleich 0 ist. In dem Fall ist der Zähler ein Produkt, und jetzt kommt der Satz, den ich gerade schon sagen wollte. Ein Produkt ist genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist. Dieses Produkt besteht aus 2 Faktoren, nämlich aus dem x und der Klammer. Das x ist 0, wenn x=0 ist, die Klammer ist 0, wenn x=4 ist. Glaube ich muss hier nicht weiter erläutern. Die Frage ist, ist der Nenner bei x=0 und bei x=4 ungleich 0? Ja, er ist es. Ich hoffe, du siehst das, das erkläre ich nicht noch mal. Das heißt, ich hab´s ja noch gar nicht erklärt, aber ich glaube, darauf kann ich hier verzichten. Man kann für die hinreichende Bedingung auch das Vorzeichenwechselkriterium verwenden. Mache ich hier nicht, ich mache das mit der 2. Ableitung. Hier ist die 2. Ableitung gebildet, und das ist auch alles elementares Ableitungszeugs. Erkläre ich nicht alles in allem. Aber eine Sache möchte ich erklären. Hier steht ja die Klammer also (x-2)4 und hier steht (x-2)3. Wie komme ich auf so was? Ich habe mit x-2 gekürzt, also mit dem Faktor, der jetzt eine Summe ist, nämlich mit x-2 habe ich gekürzt. Und zwar deshalb, weil ich hier aus dem Zähler x-2 ausgeklammert habe. Um das auszuklammern muss ich aus dem Summanden und aus diesem Summanden jeweils x-2 ausklammern. Hier ist es kein Problem, da steht ja (x-2)2, da ist der Faktor, den kann ich ausklammern. Wo ist hier der Faktor x-2? Nun, er steckt hier drin. Wenn ich nämlich aus (2x-4) die 2 ausklammere, dann bleibt ja noch x-2 da stehen. Somit habe ich 2×(x-2). Und deshalb kann ich hier also x-2 ausklammern aus diesem gesamten Zähler und dann mit x-2 kürzen. Und deshalb kommt (x-2)3 hier im Zähler vor. Dann hab ich hier schon hingeschrieben, Wendepunkte und durchgestrichen. Ich möchte hier die Betrachtung der Wendepunkte eben einschieben. Die notwendige Bedingung für Wendepunkte ist, dass die 2. Ableitung gleich 0 ist und ich hoffe, du siehst direkt, 8/(x-2)3 kann nicht 0 werden, und deshalb gibt es keine Wendepunkte. Wenn die notwendige Bedingung nicht erfüllt ist, kann es auch keine Wendepunkte geben. Gut, was brauche wir jetzt noch? Wir wissen die 1. Ableitung ist gleich 0, wenn man für x=0 einsetzt. Wir müssen wissen, jetzt, ob die 2. Ableitung an der Stelle 0 ungleich 0 ist oder nicht. Wir setzen 0 in die 2. Ableitung ein, erhalten -1 und wir wissen, wenn die 1. Ableitung gleich 0 ist und die 2. Ableitung kleiner als 0 ist, dann handelt es sich bei der gefundenen Nullstelle der 1. Ableitung um eine Maximumstelle, also, an dieser Stelle befindet sich ein Maximum oder ein Hochpunkt, wie man auch sagen kann. Und wir brauchen dann noch die 2. Koordinate dieses Hochpunktes, also die y-Koordinate brauchen wir. In dem Fall ist es die 2, und darauf kommt man, wenn man nämlich für x=0 einsetzt und zwar in den Ausgangsfunktionsterm. Dann kommt da halt 2 heraus. Ich glaube, das muss ich nicht vormachen, das siehst du so oder kannst es halt so ausrechnen. Wenn wir für x=4 einsetzen in die 2. Ableitung, das habe ich hier gemacht, dann kommt 1 raus. Ich glaube, das muss ich auch nicht weiter erläutern. Wenn die 1. Ableitung gleich 0 ist und die 2. Ableitung größer als 0 ist, dann handelt es sich bei der gefundenen Nullstelle der 1. Ableitung um eine Minimumstelle, oder um die Stelle, an der sich der Tiefpunkt befindet. Der Tiefpunkt selber hat 2 Koordinaten, deshalb drücke ich das so umständlich aus. Oft wird ja gesagt, „Ja, ist ein Tiefpunkt.“ Aber der Tiefpunkt hat ja 2 Koordinaten, also er hat die x-Koordinate 4, das wissen wir ja jetzt schon, und die y-Koordinate müssen wir noch ausrechnen, und zwar, indem wir 4 in die Ausgangsfunktion einsetzen. Und dann kommt da halt 10 raus. Damit sind wir hier durch, in dieser Kurvendiskussion. Ich zeige noch mal, wie der Graph bisher ausgesehen hat. Wir haben schon eine Asymptote. Ich habe nicht genau erklärt, warum die Kurve hier genau so verläuft, warum sie diese Asymptote nicht schneidet. Vielleicht kannst du dir selber Gedanken machen, warum sie das nicht tut. Wir wissen jetzt also, dass sich hier ein Minimum befindet. Das Minimum ist bei (4|10). Das heißt, das könnte ich jetzt noch eintragen. Hier ist dann also die 4 und da ist die 10. Wir wissen, hier ist die, da meine ich, ist ein Extremum, da ist die 2. Also der y-Wert 2 und dieses Extremum hat die Koordinaten (0|2), das ist ein Maximum. Das ist die Polstelle bei, also die Polgerade hat die Gleichung x=2. Und ich denke, Verhalten im Unendlichen ist auch besprochen worden. So sieht der Graph aus. Du kannst das dann noch von einem Computerprogramm zeichnen lassen, oder von deinem Taschenrechner oder selber noch mal genau eine Wertetabelle machen. Aber ich finde, wenn man hier so eine Skizze gemacht hat, reicht das absolut aus, um das Gefühl für den Graphen zu entwickeln. Das war die Kurvendiskussion, viel Spaß damit. Tschüss!

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6 Kommentare
  1. Default

    Habe den Rechenfehler gefunden ! Vorzeichenfehler . Entschuldigung

    Von Yasminadam, vor mehr als 3 Jahren
  2. Default

    Ich habe eine Vorzeichentabelle erstellt mit den Werten -1 , 0 , 1, 4, 5.
    Dann in f'(x) eingesetzt und sowohl Zähler als auch Nenner ausgerechnet. Überall kommt eine positive Zahl heraus ? Habe also kein Minimum oder Maximum ?

    Von Yasminadam, vor mehr als 3 Jahren
  3. Default

    server down und ich zahle -.-

    Von Mr.Verceddy, vor mehr als 5 Jahren
  4. Flyer wabnik

    Hier geht es nicht darum, den größten oder kleinsten Funktionswert in einem vorgegebenen Intervall zu finden, denn betrachtet wird der gesamte Definitionsbereich.
    Und auch wenn ein Intervall gegeben ist, möchte man, wenn man eine Kurvenuntersuchung durchführt, den Verlauf einer Funktion herausfinden und nicht nur einen maximalen oder minimalen Funktionswert berechnen.

    Von Martin Wabnik, vor fast 7 Jahren
  5. Default

    Aber um minimum und maximum zu finden, wäre es nicht einfacher gewesen:
    1) funktionswerte am anfang und am ende des Intervalls prüfen
    2) die stellen finden, wo die ableitung gleich null ist.
    3) alle punkte von 1) und 2) in funktion einsetzen und wo der erhaltene Wertt kleinste ist, ist ein minimum bzw maximum

    ?

    Von Texas Holdem, vor fast 7 Jahren
  1. Default

    Beeindruckend gut.

    Von Texas Holdem, vor fast 7 Jahren
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