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Transkript Gebrochenrationale Funktionen – Asymptote

Hallo! Wir haben eine rationale Funktion f(x)=(x2+2x-4)/x-2 und wir suchen das Verhalten im Unendlichen dieser Funktion. Das bedeutet, wir möchten wissen, wo gehen die Funktionswerte hin, wenn x gegen + ∞ oder, wenn x gegen - ∞ geht. Man sagt dazu auch Globalverhalten des Funktionsgraphen oder auch Verhalten für große und kleine x-Werte des Funktionsgraphen und so weiter. Da gibt es viele Bezeichnungen für. Eng verknüpft mit dieser Frage, ist die Frage nach der Asymptote, wenn wir wissen, wie die Asymptote verläuft, dann wissen wir auch, wie der Funktionsgraph im Unendlichen, also für x gegen +∞ und für x gegen -∞, verläuft. Und zur Asymptote muss ich mal eben noch kurz etwas sagen, weil es da viele verschiedene Bezeichnungen gibt. Also, wenn wir ein Koordinatensystem haben hier, dann könnte es passieren, dass zum Beispiel hier eine Gerade durchgeht, die zum Beispiel so verläuft und wenn wir jetzt einen Funktionsgraphen haben, der so aussieht, ja nicht ganz, der muss natürlich hier so fallen, der schmiegt sich hier so an, wie man das so sagt. Ja, geht immer näher zu dieser Geraden hin und da haben wir einen 2. Teil des Funktionsgraphen, der Ähnliches tut, nur in der anderen Richtung. So zum Beispiel könnte das aussehen. Dann ist diese Gerade hier eine Asymptote. Asymptoten müssen nicht unbedingt Geraden sein. In der Schulmathematik ist es aber üblich Asymptoten als Geraden zu definieren, und zwar Geraden im Sinne von Funktionsgraphen von Funktionen, deren Funktionsgleichung die Form y=m×x+n hat. Das sind üblicherweise solche Geraden, die Asymptoten sein können. Nicht dazu gehört in der Regel eine Gerade, die parallel zur y-Achse verläuft. Das nennt man normalerweise Pol. Ja, hier kann eine Definitionslücke vorliegen und das Verhalten des Funktionsgraphen sieht ungefähr so aus, oder könnte so aussehen, in der Nähe dieser Definitionslücke und eine solche parallel zur y-Achse nennt man dann Pol. Manchmal wird auch dazu senkrechte Asymptote gesagt, was ich unglaublich finde. Ich werde es nicht verwenden, ich werde es hier auch nicht ausdiskutieren. Wäre auch unfair, denn dann kann ich die ganze Zeit reden und du kannst nicht antworten und das ist ja nicht  fair. Ich möchte hier also die Asymptote bestimmen, um herauszufinden, wie sich diese Funktion im Unendlichen verhält. Verhalten für x+∞ und für x-∞. Die Asymptote bestimmt man, indem man einfach das macht, was der Bruch hier vorgibt, was man da tun soll. Das ist quasi eine Geteiltaufgabe. Man teilt also Zähler durch Nenner mithilfe der Polynomdivision. Das habe ich hier mal ausgeführt. Ich sage das jetzt nicht im Einzelnen, wie das zustande gekommen ist. Guckst du diese Filme, wenn du das nicht weißt, zur Polynomdivision. Kein Problem. Das Ergebnis ist auf jeden Fall x+4+(4/x-2). Die Asymptote ist eine Funktion der Form: a(x), ich weiß nicht, ob man das so schreiben kann, ob das so schlau ist a von x zu sagen, a wie Asymptote, ist egal: x+4. Die Gerade x+4 ist die Asymptote hier in dem Fall, denn für große x-Werte wird hier Folgendes passieren: 4/x-2 wird gegen 0 gehen, für kleine x-Werte passiert das auch, also für x-Werte, die gegen -∞ gehen. Mit kleinen Werten ist immer gemeint: x-Werte, die gegen -∞ gehen, nicht x-Werte, die in der Nähe von 0 sind. Das geht also gegen 0 und deshalb wird das Verhalten in der Unendlichkeit des Graphen von der Geraden x+4 bestimmt. Der Graph nähert sich immer mehr dieser Geraden x+4 an. Und deshalb müssen wir uns nur angucken, was macht die Gerade x+4 in der Unendlichkeit, wenn x gegen +∞ geht, dann geht die Gerade x+4 auch gegen +∞ und deshalb geht dann auch f(x) gegen +∞, dieses f(x). Und wenn x gegen -∞ geht, dann geht auch diese Gerade x+4 auch gegen -∞ und deshalb geht auch f(x) gegen -∞. Ja damit haben wir das Verhalten in der Unendlichkeit dieser Funktion geklärt. Viel Spaß damit, tschüss!

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1 Kommentar
  1. Default

    Wieso muss man die Asymptote dieser Funktion überhaupt bestimmen und kann nicht gleich große X-Werte in die gegebene Funktionsgleichung einsetzten? Das spart Zeit und ist einfacher zu rechnen und man kommt auf das selbe Ergebnis. Wieso dann also den Umweg über die Asymptotenbestimmung?

    Von Sabrina Cammerer97, vor etwa 3 Jahren