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Transkript Gauß-Verfahren – Gleichungssystem mit zwei Variablen

Den Gaußschen Algorithmus kann man auf jedes lineare Gleichungssystem anwenden. Ziel ist es, durch äquivalente Umformungen, das lineare Gleichungssystem in Dreiecksgestalt zu bringen. Man formt äquivalent um, indem man zum Beispiel ein Vielfaches einer beliebigen Zeile zu einer anderen Zeile hinzuaddiert oder, indem man Zeilen vertauscht oder eine Zeile mit einer Zahl ? ? 0 multipliziert. Wie formen wir zum Beispiel folgendes lineares Gleichungssystem in Dreiecksgestalt um: a11 x1 + a12 x2 = b1 ; a21x1 + a22 x2= b2 ? Um die Schreibarbeit zu minimieren, schreiben wir das lineare Gleichungssystem zuerst in folgendes Schema: Auf die rechte Seite schreiben wir alles rechts vom = und auf die linke Seite alles links vom =. Wir wollen an dieser Stelle eine 0 generieren, um Dreiecksgestalt  zu erhalten. Dazu multiplizieren wir die erste Zeile mit -a21/ a11 und addieren sie zur zweiten Zeile. Da wir ja nur die zweite Zeile verändern wollen, schreiben wir die erste einfach ab. a11, a12 = b1. Um die neue zweite Zeile zu erhalten, müssen wir a21 + a11 × (-a21/ a11) rechnen. Dieses Element ergibt sich also, indem wir a21 - (a11 × a21) / a11 rechnen. Um das nächste Element zu erhalten, gehen wir in gleicher Weise vor. Dazu müssen wir a22 - (a12 × a21) / a11 berechnen. Für das nächste Element müssen wir b2 - (b1 × a21) / a11 berechnen. In der nächsten Stufe schreibe ich einfach nur die ausgerechneten Werte auf, also a11, a12, b1, da sich die erste Zeile nicht verändert. In diesem Element kürzen sich a11 weg und es bleibt stehen a21 - a21 = 0. Im zweiten Element können wir leider gar nichts kürzen und in diesem Element können wir leider auch nichts kürzen. Demzufolge hat dieses LGS zum Beispiel folgende Dreiecksgestalt. Dreiecksgestalt hat ein LGS, wenn unterhalb der Hauptdiagonalen der Koeffizientenmatrix nur noch Nullen stehen. Wobei die Koeffizientenmatrix nur der Teil links von = ist. Das äquivalent umgeformte lineare Gleichungssystem lässt sich nun rekursiv, also von unten nach oben lösen. Dazu  betrachten wir noch mal die letzte Gauß-Stufe: (a11 × x1) + (a12 × x2) = b1;   (a22 - (a12 × a21) / a11)) × x2 = b2 - (b1 × a21) / a11. Die Lösung für x2 erhalten wir nun, indem wir die rechte Seite durch den Faktor vor x2 dividieren. Also: (b2 - (b1 × a21) / a1)) / (a22 - (a12 × a21) / a11)). Da wir für x2 eine bestimmte Zahl rechnen, können wir diese in die erste Gleichung einsetzen und x1 errechnen.

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