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Transkript Gauß-Algorithmus – Erklärung

Hallo, hier habe ich ein Gleichungssystem mit 3 Variablen und 3 Gleichungen und das möchte ich jetzt lösen. Und zwar mit dem Gauß-Verfahren oder dem Gauß'schen Eliminationsalgortithmus oder einfach dem Gauß-Algorithmus. Ja, hier ist der große Augenblick für das große Gauß-Verfahren. Ich möchte das hier einfach einmal vorstellen, formal erklären, nicht weiter begründen, auch nicht anschaulich zeigen, warum das gilt. Das kann man auch anschaulich zeigen, aber nicht hier. Wir machen Folgendes: Ich möchte dieses Gleichungssystem hier als Ganzes umformen. Du kennst das bisher, dass man einzelne Gleichungen umformt, aber jetzt soll das gesamte Gleichungssystem umgeformt werden. Es soll dann noch einmal hingeschrieben werden - wieder mit 3 Gleichungen - aber eben in veränderter Form. Und zwar in der Form, dass in der dritten Gleichung hier auf der ersten Stelle und bei der zweiten Gleichung auf der ersten Stelle, da jeweils eine 0 sein soll. Warum ich das so mache, siehst du später. Erkläre ich jetzt nicht. Auf jeden Fall: Ich möchte ein neues Gleichungssystem hinschreiben, bei dem hier und hier eine 0 steht. Hier in der ersten Gleichung an der ersten Stelle soll keine 0 stehen. Das kriegt man hin, indem man im Wesentlichen 2 Äquivalenzumformungen macht. Die erste Äquivalenzumformung ist: Wir können wir eine Gleichung mit einer Zahl ungleich 0 multiplizieren. Das kennst du schon, das ist nichts Neues. Wir können auch eine gesamte Gleichung zu einer anderen gesamten Gleichung addieren. Das kennst du auch vom Additionsverfahren. Hier bezieht es sich dann aber direkt auf mehrere Gleichungen, aber ist im Prinzip nichts anderes. Das sind unsere beiden Äquivalenzumformungen und die werden hier natürlich nicht so, wie du das vom Additionsverfahren kennst aus der Mittelstufe, einfach hintereinander gemacht, sondern die werden gleich gebündelt. Und zwar stelle ich mir jetzt Folgendes vor: Wenn ich die erste Gleichung mit 4 multipliziere und die zweite Gleichung mit 3 multipliziere, dann steht hier am Anfang 12 und da auch. Wenn ich dann beide Gleichungen voneinander abziehe, dann entsteht eine Gleichung, die hier eine 0 hat und genau das will ich erreichen. Ich möchte jetzt die erste Gleichung mit 4 multiplizieren: 4×I-3×II=(die zweite neue Gleichung)=IIa. Es gibt viele Möglichkeiten, so etwas aufzuschreiben. Ich finde die hier ganz stimmig. Wenn du eine andere hast, ist nicht schlimm. Versuche halt das Gleiche zu entdecken. Dann haben wir hier ein -x stehen. Und wenn wir also im nächsten Schritt - da, wo das Gleichungssystem gleich neu erscheinen wird - dann statt der dritten Zeile Folgende hinschreiben: Wir nehmen die erste Zeile und addieren das Dreifache der dritten Zeile hinzu. Also: I+3×III=(unsere neue dritte Zeile)=IIIa. Das, was da herauskommt, kommt jetzt hier auf die grüne Folie. Die erste Gleichung bleibt, wie sie ist. Das darf ich einfach hinschreiben. Es ist ja auch ein bisschen etwas abzuschreiben immer wieder, da hat man einmal Pause mit dem Denken. Allerdings auch hier wieder eine Fehlerquelle: Falsch abschreiben ist natürlich tödlich. Wir nehmen jetzt, wie angekündigt, das Vierfache der ersten Gleichung und subtrahieren davon das Dreifache der zweiten Gleichung. Also: Das Vierfache der ersten Gleichung ergibt hier bei 3×x, 12×x. Das Dreifache der zweiten Gleichung ergibt bei 4×x hier auch 12×x. 12×x-12×x=0. Die 0 schreibt man nicht hin, man schreibt einfach hier überhaupt nichts hin. Als Nächstes nehmen wir das Vierfache von 2×y, das ist 8×y, und subtrahieren das Dreifache von 3×y, das sind 9×y. 8×y-9×y=-y. (Das Vierfache von z)-(das Dreifache von -z). (Das Dreifache von -z)=-3×z. Wenn 4×z-(-3×z) gerechnet wird, entstehen 7×z. Das kommt hierhin. Jetzt müssen wir das hier noch ausrechnen, die rechte Seite. 4×7=28. -3×2=-6. 28-6=22. Als dritte Gleichung in unserem neuen Gleichungssystem haben wir jetzt IIIa und wir rechnen: (die erste Gleichung)+(das Dreifache der zweiten Gleichung). Das steht hier: 3×x-3×x=0. 2×y+(das Dreifache von -2×y). (Das Dreifache von -2×y)=-6×y. Wenn da noch 2×y hinzukommen, haben wir im Ganzen -4×y. Dann haben wir hier z, also (das Einfache der ersten Gleichung)+(das Dreifache der dritten Gleichung). (Das Dreifache von 2×z)=6×z. Kommt 1×z hinzu, also auch +7×z. Ich muss das hier auch auf der rechten Seite machen: 7+(das Dreifache von 6). (Das Dreifache von 6)=18. +7 dazu ist 25. Eine Bemerkung nebenbei: Wenn du solche Rechnungen mit dem Taschenrechner machen möchtest, dann wirst du verrückt irgendwann - das kann ich dir jetzt schon versichern. Du solltest das wirklich im Kopf können. Es gibt Leute, die das leider nicht können. Jetzt ist es die Gelegenheit, hier das Kopfrechnen soweit zu üben. Also, wenn du für 3×6 den Taschenrechner brauchst, dann wirst du mit diesen Gleichungssystemen nicht klarkommen, weil es viel zu viele Rechnungen sind, die du in den Taschenrechner eingeben musst und das wird viel zu viel Zeit kosten - fehleranfällig ist es außerdem. Das nur nebenbei bemerkt. Für Leute, die jetzt öfters schon solche Gleichungssysteme ausgerechnet haben mit dem Gauß-Verfahren: Hier kann ich natürlich etwas bemerken und die Gleichung anders, als das Gauß-Verfahren das normal vorschreibt - sage ich einmal in Anführungszeichen - weiterrechnen. Das ignoriere ich hier bewusst. Ich zeige jetzt nur einfach das Verfahren, ganz geradeaus ohne irgendwelche Vereinfachungen. Wir haben ein neues Gleichungssystem und dieses Gleichungssystem möchte ich nun abermals umformen, und zwar so, das hier an der Stelle eine 0 erscheint. Dazu nehme ich: (Das Vierfache der Gleichung IIa; 4×IIa)-(Die Gleichung IIIa)=IIIb. Die anderen beiden Gleichungen schreibe ich einfach ab. Dann habe ich hier, als Erstes stehen: 3×x+2×y+z=7. Außerdem, IIa bleibt auch stehen, wie es ist: -y+7×z=22. Und die dritte Gleichung wird geändert zu IIIb. Und zwar, wenn ich das Vierfache dieser zweiten Gleichung hier nehme und die dritte Gleichung davon abziehe, steht hier: -4×y-(-4×y)=0. Dann entsteht hier also eine 0. Das Vierfache von 7×z sind 28×z. Ich ziehe die dritte Gleichung ab, das sind 21×z. 28×z-7×z=21×z. Und dann darf ich das hier hinschreiben: 21×z. Ich mache das Gleiche mit der 22 und der 25, das heißt, ich rechne einfach: 22×4=88. -25 ist 63. Ja, auch das darf man ruhig im Kopf können. Jetzt habe ich hier unten eine sehr einfache Gleichung stehen, die ich direkt lösen kann. Ich glaube, das darf man so sehen. z=3, denn: Wenn man 63 durch 21 teilt kommt 3 heraus. Da kann man jetzt, glaube ich, schon ein bisschen erkennen, warum ich auf diese Form kommen wollte. Das heißt, in der zweiten und dritten Gleichung steht an der Stelle x überhaupt nichts mehr bzw. eine 0 und in der dritten Gleichung steht an der y-Stelle nichts mehr bzw. auch eine Null. Das nennt man auch hier obere Dreiecksform, weil das jetzt wie ein Dreieck aussieht. Diese Form führt dazu, dass ich hier unten eine Gleichung mit einer Variablen habe, die ich jetzt lösen kann. Als Nächstes darf ich also diese Lösung, die ich herausgefunden habe, in die zweite Gleichung einsetzen. Dann steht da also: -y+7×z. z schreibe ich jetzt nicht hin, da habe ich ja schon die 3 ausgerechnet. Da ist die Lösung. Ich schreibe statt z also die 3 hin. =22. Auch das kann man jetzt schnell lösen, hoffe ich. Wir haben hier 21, ja: 7×3=21. Wir ziehen 21 ab auf beiden Seiten. Dann steht da: -y=1. 22-21=1. Wir müssen noch mit -1 multiplizieren und hier steht dann: y=-1. Das ist das zweite Ergebnis. Jetzt müssen wir diese Lösung für z und für y noch in der ersten Gleichung einsetzen. Dann erhalten wir: 3×x+2×-1+z[z=3]=7. Auch das geht hoffentlich jetzt schnell und direkt im Kopf: 2×-1=-2. -2+3=1. Das heißt, ich muss 1 auf beiden Seiten abziehen. Es bleibt also hier übrig: 3×x. 7-1=6. Und dann kann ich das auch hier hinschreiben, was x ist. x=2, denn 6÷3=2. Ja, du siehst, es sind ganz viele Zahlen und viele Rechnungen. Aber es muss halt sein. Das ist der Gauß-Algorithmus. Noch einmal zusammengefasst: Wir haben ein Gleichungssystem. Wir formen dieses Gleichungssystem um mit Äquivalenzumformungen. Die Äquivalenzumformungen sind: Wir dürfen eine Zeile mit einer Zahl ungleich 0 multiplizieren, und wir dürfen Zeilen zueinander addieren. Dadurch entsteht ein neues Gleichungssystem, was man hier sieht. Das hat in der ersten Spalte hier - ab der ersten Zeile nach unten - nur noch Nullen oder gar nichts mehr. Wir machen noch ein neues Gleichungssystem, was dann hier diese obere Dreiecksform hat. Wir rechnen daraus hier die letzte Variable dann aus, setzen das, was wir da herausgefunden haben, in die zweite Gleichung ein, rechnen die zweite Variable aus, dann setzen wir das in die erste Gleichung ein - beide Zahlen - und bestimmen das x, die Variable, aus dieser Gleichung und kommen dann so zu den 3 Zahlen, die man für x, y und z einsetzen muss, sodass diese Gleichung richtig wird. Das war es, tschüss.

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10 Kommentare
  1. Sarah2

    @Ursusglinski: Dein Ziel ist es, zwei Gleichungen mit Hilfe des Additionsverfahrens, des Einsetzungsverfahrens oder des Gleichsetzungsverfahrens zu schaffen, in denen bereits eine Variable eliminiert wurde. Das kann auf viele unterschiedliche Arten passieren; am besten suchst du dir am Anfang eine Variable aus, die du eliminieren willst, und führst dann entsprechende Äquivalenzumformungen und passende Verfahren (s.o.) durch. Wenn du dazu weitere Fragen dazu hast, wende dich am besten an den Hausaufgaben-Chat, der Mo-Fr von 17 bis 19 Uhr erreichbar ist. Viel Erfolg!

    Von Sarah Kriz, vor mehr als einem Jahr
  2. Img 20151011 002133

    Woher weiß ich, was hinter den operationsstrich muss? Also mit welcher zahl ich die gleichung berechne?

    Von Juliane G., vor mehr als einem Jahr
  3. Default

    Einfach und sehr gut erklärt. Vielen Dank! :-)

    Von Michael K., vor fast 2 Jahren
  4. Default

    super video!perfekt erklärt, danke dafür! :-)

    Von Annabellekrause, vor etwa 2 Jahren
  5. Default

    Danke :) Respekt so gut auf dem Kopf zuschreiben.

    Von Christoph Drewitz, vor fast 3 Jahren
  1. Default

    Danke hat mir echt weiter geholfen. Jetzt hab ich es verstanden. :-)

    Von Jonny149, vor fast 4 Jahren
  2. Default

    Kann mir jemand die Frage beantworten, wie ich denn darauf komme, was ich mit was und mit welcher Zahl multiplizieren muss, um dann letztlich (möglichst schnell) auf die Dreiecksform zu kommen, um das System lösen zu können? Danke!
    Das Video an sich war aber sonst sehr gut gemacht und hat mir weitergeholfen:)!

    Von La Ri, vor mehr als 4 Jahren
  3. Default

    Wieso heisst es, dass man nur addieren darf? Es werden im Beispiel doch auch Gleichungen voneinander abgezogen. Oder habe ich das falsch verstanden?

    Von Kathi.Boser@Gmx.De, vor mehr als 4 Jahren
  4. Default

    weil du so nicht das gausverfahren anwendest

    Von Moe927, vor fast 5 Jahren
  5. Default

    Warum kann ich nicht einfach die zweite und dritte GLeichung voneinander abziehen? Also die
    7z...

    Von Danamorena, vor fast 5 Jahren
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