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Transkript Gauß-Algorithmus – Beispiel (3)

Hallo, hier ist ein Gleichungssystem für dich zum Lösen, mit dem Gaußverfahren. Probier es bitte selbst und guck hinterher, was ich mir hier zusammengerechnet habe. Wir konzentrieren uns vorher, bevor wir anfangen. Wir überlegen uns, dass wir dieses Gleichungssystem in ein neues, und in noch weiter neues Gleichungssystem umformen wollen. Nicht in irgendeins, sondern in eins, das dieselbe Lösungsmenge hat wie dieses hier.  Wir erreichen, dass indem wir Zeilen mit Zahlen ungleich 0 multiplizieren, oder indem wir Zeilen zueinander addieren, oder voneinander abziehen. Wir vertreiben außerdem alle negativen und bösen Gedanken aus unserem Kopf, weil man nämlich sonst nicht rechnen kann. Übrigens, das ist einer der Gründe, warum Mathematiker so selten straffällig werden. Weil das helle Licht der mathematischen Klarheit, dunkle Absichten gleich zunichtemacht. Wie auch immer, es soll dieses Gleichungssystem gelöst werden. Wir möchten umformen in ein Gleichungssystem, was hier und hier jeweils eine 0 hat. Dann stellen wir fest, wir haben ja hier schon eine 0, hier steht ja, auch wenn du das jetzt gerade nicht sehen kannst, 0×x+2y usw. Da das so ist, brauchen wir hier also gar nichts mehr zu machen. Wir müssen nur noch die 3. Gleichung umformen, und wir erreichen auf dieser Stelle in dem neuen Gleichungssystem eine 0, indem wir das 3fache der 1. Gleichung zur 3. addieren. Das habe ich rein zufällig mal hier vorbereitet. Die ersten beiden Zeilen habe ich wieder abgeschrieben, da ist ja jetzt nichts zu tun. Und wenn man halt diese Rechnung hier ausführt, das 3fache der ersten Zeile + die 3. Zeile, oder die 3. Gleichung, wie immer man das sagen will. Dann kommt da also 2y+5z=-2 heraus. Das muss ich nicht mehr vormachen, das sind einfache lineare Umformungen. Jetzt wollen wir hier noch eine 0 haben, in dem weiteren Gleichungssystem, das dieselbe Lösungsmenge hat. Das erreichen wir einfach, indem wir die 2. Zeile - die 3. Zeile rechnen. Und erhalten dann hier dieses neue lustige Gleichungssystem. Und wir können hier direkt ablesen was z ist. z ist nämlich -3/4. Ja, ich glaube, ich muss gar nicht mehr so viel dazu sagen, die Sache ist irgendwie klar. Es geht auch für dich nur darum, dass du da jetzt Sicherheit gewinst. Es ist relativ langweilig solche Gleichungssysteme zu lösen, es ist aber nötig. Das muss man einfach machen. So ist die Lage und hier muss man einfach Gleichungssysteme lösen. Also wir können dann, das was wir für z ausgerechnet haben, hier in diese zweite Gleichung einsetzten. Dann bekommen wir als 2y-(3/4)=1. Ich habe das hier noch mal in 2 Schritten hingeschrieben, weil ich weiß, dass nicht alle Abiturienten die Bruchrechnung beherrschen. Wir rechnen also +3/4 auf beiden Seiten und haben dann hier auf der anderen Seite 1+3/4. Weil 1 ja 4/4 sind, ist 4/4+3/4=7/4 und das ist das, was hier steht. Wenn wir 7/4 durch 2 teilen übrigens, dann muss man nicht 3,5/4 rechnen oder sowas. Sondern das sind 7/8. Auch das weiß nicht jeder Abiturient und deshalb sage ich das nochmal. Beide Zahlen, also 7/8 für y und -3/4 für z, können wir dann in die 1. Gleichung einsetzen und erhalten dann -x+7/8-3/4=0. Da ist es und da müssen wir einmal hier erweitern auf 6/8, dann haben wir hier 7/8-6/8, das ist 1/8. Wir bringen 1/8 auf die andere Seite, indem wir -1/8 auf beiden Seiten rechnen. Dann ist hier auch wieder die Wiese grün. x=1/8, kein Problem. So, und dann musst du noch ordentlich die Lösungsmenge hinschreiben. Sei du mir bitte ein Vorbild und mach du es richtig. Ich verschluder das hier, und das ist nicht gut. Viel Spaß damit, bis bald. Tschüss.

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2 Kommentare
  1. Default

    Maestro Wabnik, der Witz mit dem "hellen Licht der mathematischen Klarheit" war echt nicht von schlechten Eltern! :-)

    Von Green Spirit, vor mehr als 3 Jahren
  2. Default

    Halloooo Herr Martin! Ich habe versucht so ein Gleichungssystem ohne den Gauß Algorithmus zu lösen und ich habe es geschafft indem ich einfach das Einsetzungsverfahren benutz habe. Aus der zweiten Gleichung habe ich festgestellt, dass z=1-2y ist. Das habe ich in die erste Gleichung eingesetzt und habe festgestellt, dass x=-y+1. Dann habe ich diese Ergebnisse in die dritte Gleichung eingesetzt und habe y ausrechnen können: 3(-y+1)-y+2(1-2y)=-2 => y=7/8. Eigentlich das gleiche Ergebnis wie beim Verwenden des Gauß-Verfahrens. Wenn es für alle anderen Gleichungssysteme gilt, dann wäre diese Lösungsmethode eine alternative für diejenigen welche den Gauß-Algorithmus vergessen oder nicht anwenden möchten.

    Von John U., vor etwa 5 Jahren