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Transkript Gauß-Algorithmus – Beispiel (1)

Hallo! Wir haben hier ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Variablen und das soll jetzt gelöst werden, und zwar mithilfe des Gaußverfahrens oder in kompliziert ausgedrückt mit dem gaußschen Eliminationsalgorithmus. Noch mal zum Sinn des Ganzen. Wir möchten jetzt ein neues Gleichungssystem hinschreiben, also dieses Umformen in ein neues Gleichungssystem und dann wieder in ein neues und so weiter, bis das Gleichungssystem so einfach geworden ist, dass man die Lösung quasi direkt ablesen kann. Das ist wie bei den Äquivalenzumformungen. Man formt so lange um, bis die Gleichung so einfach ist, dass man die Lösung ablesen kann. Nur hier ist es eben ein ganzes Gleichungssystem, was umgeformt wird, und zwar immer so, dass eben die Lösung oder die Lösungsmenge erhalten bleibt. Da dürfen wir 2 Dinge tun. Wir  dürfen eine Zeile mit einer Zahl ungleich 0 multiplizieren und wir dürfen Zeilen voneinander subtrahieren oder zueinander addieren. Das soll jetzt mal passieren, und zwar so, dass in dem nächsten Gleichungssystem, was wir dann erhalten, an dieser Stelle und an dieser Stelle jeweils eine 0 steht. Dann ist das einfacher geworden. Und das können wir erreichen, indem wir zum Beispiel das Zweifache hier der 1. Gleichung nehmen und die 2. Gleichung von diesem Ergebnis abziehen. Wenn wir nämlich das Zweifache der 1. Gleichung nehmen, dann steht hier 2x1 und wenn wir davon 2x1 abziehen, dann steht da eine 0 und das Ergebnis hiervon, von dieser Rechnung, das werden wir dann gleich in der 2. Zeile finden. In der 3. Zeile soll auch etwas Neues stehen, und zwar das Ergebnis der folgenden Rechnung, nämlich 5× die 1. Zeile, dann würde hier an dieser Stelle 5×x1 stehen + die 3. Zeile, hier steht ja -5x1, und wenn wir die beiden addieren, dann steht dann an der Stelle auch eine 0. Und das Ergebnis dieser Rechnung soll dann hier im neuen Gleichungssystem in der 3. Zeile stehen. Den Taschenrechner brauchen wir hier nur zum Wegschmeißen, denn wenn du diese kleine Rechnungen alle in deinen Taschenrechner eintippen willst, dann wirst du bekloppt.    Rein zufällig habe ich hier mal was vorbereitet, und zwar das neue Gleichungssystem. Ich packe das mal so hierhin. Also die 1. Zeile bleibt einfach so stehen in unserem Gleichungssystem. Die 2. Zeile heißt hier jetzt IIa, das ist eine übliche Bezeichnung. Es gibt auch andere Bezeichnungen. Ich kann hier nicht alle auf einmal verwenden. Wir haben also das Zweifache der 1. Gleichung genommen und dann minus die 2. Gleichung gerechnet. Hier steht eine 0 und das sind dann die Ergebnisse, die herauskommen. Nur zum Vergleich eben mal: Das Zweifache von 3x2 sind ja 6x2 und wenn dir dann diese Stelle hier der 2. Gleichung abziehen, also -2x2, dann kommen da 4x2 raus. Hier ebenso: wir haben das Zweifache von 4x3, das sind 8x3 und rechnen minus x, dann kommen hier 7x3 heraus. Also 8x3-x3=7x3, gerade hatte ich die 3 vergessen beim sprechen und hier das Gleiche, das Zweifache von -3 ist -6 und wenn wir dann -9 abziehen, haben wir -15. Hier in der 3. Zeile geht das genauso, das lese ich jetzt nicht alles vor. Rechne das bitte selber nach. Versuche da ein bisschen Übung zu kriegen, vor allem mit diesen kleinen Rechnungen. Die solltest du einfach schnell und sicher ausrechnen können, und zwar deshalb ohne Taschenrechner, weil du dich da wahrscheinlich 10-mal vertippst, wenn du das alles eintippen möchtest. Jetzt haben wir zwar 2 Nullen stehen, aber das reicht noch nicht. Wir möchten das Gleichungssystem noch einfacher haben, und zwar indem wir jetzt die 3. Zeile verändern, und zwar so, dass hier nur noch 1 Variable übrig bleibt. Das mache ich deshalb so, da normalerweise beim Gaußverfahren steht, man sollte die obere Dreiecksform bekommen, dann müsste dieser Summand hier 0 werden, dann hätten wir quasi so eine Dreiecksform. Und ich habe das einleitend im Film auch gesagt, da habe ich die Dreiecksform konstruiert. Hier wäre das aber irgendwie doof, denn man müsste ja die 4x2 mit 5,5 multiplizieren, um auf 22x2 zu kommen und dann könnte man natürlich hier diese 3. Zeile abziehen und hätte dann hier auch eine 0 stehen, aber wenn man Kommazahlen vermeiden kann, dann macht man das auch. Man sieht ja direkt hier, dass 28 das Vierfache von 7 ist, auch da hilft es wieder, dass man das kleine Einmaleins kennt und dass man das direkt sieht. Es sehen nicht alle, deswegen sage ich es noch mal. Man kann hier einfach das Vierfache der 2. Gleichung nehmen, das habe ich hier auch geschrieben 4×IIa, und dann einfach die 3. Gleichung davon abziehen, dann steht hier an der Stelle eine 0. Das ist zwar nicht die obere Dreiecksform, aber wir haben dann die Möglichkeit, dass wir eine Gleichung haben, in der nur noch als Variable x2 vorkommt und die können wir dann ausrechnen. Anders gesagt, der Vollständigkeit halber muss ich sagen: In manchen Büchern steht dann zu diesem Punkt, dass man auch ganze Spalten vertauschen darf. Wollte ich nur sagen, der Vollständigkeit halber. Das ist richtig, wenn wir dann diese Spalten vertauschen würden, hätten wir auch die obere Dreiecksform, aber ich finde das ist hier nicht nötig. Und damit du siehst, worum es hier geht. Das ist das neue Gleichungssystem, was dann herauskommt. Hier noch mal der Hinweis, wenn ich diese beide Spalten hier vertauschen würde, dann hätte man da ja die obere Dreiecksform, aber in dem Fall würde ich sagen, ist das einfach nur zusätzliche Schreibarbeit.  Die anderen beiden Zeilen bleiben einfach wieder stehen. Was heißt wieder? Hier in dem Schritt von da nach da ist ja die 1. Zeile stehen geblieben und jetzt ist die 1. und 2. stehen geblieben. So, und jetzt können wir die 3. Gleichung lösen. Wenn die 3. Gleichung zum 2. mal umgeformt wurde, heißt sie meistens IIIb. Und auch da habe ich rein zufällig mal etwas vorbereitet. Ja, ich habe ein bisschen Angst, dass wenn ich das alles live rechne, 1. dauert es zulange, 2. vielleicht verrechne ich mich doch und das sieht dann doof aus. -6x2=-30, ich glaube das muss ich nicht weiter erklären, geteilt durch -6x ist gleich x2=5. Dieses Ergebnis können wir jetzt hier in diese 2. Gleichung einsetzen, für x2 setzen wir 5 ein. 4×5+7x3=-15. Wir rechnen -20 auf beiden Seiten und erhalten hier 7x3=-35, woraus dann folgt x3=-5. Ja, glaube ich muss ich auch nicht weiter erläutern, das sind lineare Gleichungen. Das kennst du schon von ganz früher, als du noch ganz klein warst, da hast du das mal gemacht. Die beiden Ergebnisse, also für x3 und x2, das können wir jetzt hier in die 1. Zeile einsetzen, in die 1. Gleichung und haben dann x1=3×5+4×(-5)=-3, woraus durch elementare Umformungen folgt, dass x1=2 ist. Und jetzt kommt, was ich jetzt nicht machen werde, noch das Finale. Du musst noch die Lösungsmenge hinschreiben. Die besteht also, man kann sagen aus dem Lösungsvektor (2,5,-5), oder wie auch immer du das notieren sollst. Da gibt es ganz viele Möglichkeiten. Weil es so viele gibt, habe ich das einfach hier weggelassen, aber die Lösungsmenge muss auf jeden Fall noch hin. Ich würde sagen, dann ist ja alles erklärt zu dem Gleichungssystem. Viel Spaß mit den weiteren Gleichungssystemen, tschüss!

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3 Kommentare
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    Hat mir sehr geholfen, danke :)

    Von Fakharmalik, vor fast 3 Jahren
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    Sie sollten sich mal ne Tafel besorgen

    Von Anthreep, vor etwa 4 Jahren
  3. Default

    Hallo,
    Bei der Aufgabe zu diesem Video, ist wohl ein Fehler passiert:
    Ich habe gerechnet: bei Gleichung 2 | Gl1*3-Gl2*2 und bei Gleichung 3 | Gl1*5-Gl3*2
    im nächsten System: bei Gleichung 3a | Gl1-Gl3a
    Dann kommt bei mir raus, dass z=-1,875 ist.
    Also passen die angegebenen Lösungen nicht....?
    LG Ymo

    Von Ymo, vor etwa 4 Jahren