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Gauß-Algorithmus 11:12 min

Textversion des Videos

Transkript Gauß-Algorithmus

Hi, in diesem Video stelle ich euch den Gauß-Algorithmus vor. Wir brauchen ihn, um lineare Gleichungssysteme lösen zu können. Fangen wir gleich mal an! Wir haben hier das Gleichungssystem x1+x2+3×x3=8, das ist unsere 1. Zeile. x1+x3=6, unsere 2. Zeile. Und unsere 3. Zeile lautet: 4x1-2x2-x3=19. Ihr kennt aus der Schule bestimmt noch das Additionsverfahren. Also wir können Zeilen miteinander addieren oder sie auch voneinander abziehen. Im Gauß-Algorithmus ersparen wir uns dabei ein bisschen Schreibarbeit, denn wir machen das nur mit den Koeffizienten hiervon. Wir markieren uns also die Koeffizienten vor den Variablen. Hier haben wir 0×x2 und jetzt können wir das Ganze umformen, wobei wir aber noch darauf achten müssen, dass wir hier und hier ein Minus haben und kein Plus wie da. Wir schreiben das Ganze jetzt etwas einfacher und jetzt rechnen wir wie beim Additionsverfahren in der Schule, aber mit System. Wir wollen ja wissen, was x1, x2 und x3 ergibt. Dafür malen wir uns hier eine Stufe hin. Hier haben wir x1, hier x2, hier x3 und wir wollen das jetzt so stehen haben: x3 gleich das, x2 gleich das und x1 gleich das. Im 1. Schritt muss alles unterhalb dieser Stufe 0 werden, und um das zu erreichen, dürfen wir eine Zeile mit einer Zahl multiplizieren, zwei Zeilen addieren, eine Zeile von einer anderen abziehen oder auch eine Zeile von einem Vielfachen der anderen Zeile abziehen. Und diese ganzen Schritte können wir beliebig oft machen. Okay, anstatt aufzuzählen, zeige ich es euch jetzt direkt. Wir wollen zuerst hier und hier, in diesem Block, nur Nullen haben, und dann da. Die 1. Zeile schreiben wir einfach ab. In der 2. Zeile rechnen wir 2. Zeile minus der 1. Zeile und das jetzt Element für Element: 1-1=0, 0-1=-1, 1-3=-2 und 6-8=-2. In der 3. Zeile haben wir hier eine 4, und damit 4=0 ist, müssen wir 4 davon abziehen. Wir rechnen also 3. Zeile -4× 1. Zeile. 4-(4×1)=0, -2-(4×1)=-2-4=-6, -1-(4×3)=-1-12=-13 und 19-(4×8)=19-32=-13. So weit, so gut. Jetzt wollen wir noch diese -6 loswerden. Wir müssen jetzt aber aufpassen, wenn wir die 1. Zeile benutzen um die -6 loszuwerden, dann hätten wir hier keine 0 mehr. -6+(6×1) wäre 0, gut, das wollen wir. Aber 0+(6×1)=6, und wir brauchen hier immer noch die 0. Deswegen benutzen wir jetzt im 2. Schritt, also für den 2. Block die 2. Zeile. Für die 2. Spalte benutzen wir die 2. Zeile, genauso wie wir für die 1. Spalte die 1. Zeile benutzt haben. Und wir müssen von dieser -6 (6×-1) abziehen. Wir rechnen jetzt also 0-(6×0), -6-(6×-1), also -6+6=0, genauso, wie wir das wollten. -13-(6×-2)=-13+12=-1. -13-(6×-2), das Gleiche noch mal. Und die 1. und 2. Zeile schreiben wir jetzt einfach ab. Jetzt nehmen wir die 3. Zeile ×(-1), das heißt, wir wechseln das Vorzeichen jedes Elementes. Bei 0 ist es egal, bei 0 ist es egal, aus - wird +, aus - wird +. Und jetzt können wir schon die Lösung für x3 ablesen: 1×x3=1. x3 ist also gleich 1. Um das Ganze zu vereinfachen, können wir auch hier gleich alle Vorzeichen umdrehen. Diese Zeile also ×(-1), dadurch wechselt sich das Vorzeichen. Bei der 0 ist es egal. Und jetzt sind wir mit dem 1. Schritt fertig. Alles, was dann drunter ist, ist 0. Und jetzt wollen wir alles, was über der Diagonalen ist, auch zu 0 machen. Unser Ziel ist es, dass wir nur noch diese Hauptdiagonale hier stehen haben und da drunter und da drüber nur Nullen, damit wir einfach so die Ergebnisse ablesen können, wie ich hier für x3. Im nächsten Schritt wollen wir diesen Block hier eliminieren. Wir wollen also hieraus eine 0 machen und daraus eine 0. Und für den Block in der 3. Spalte benutzen wir die 3. Zeile. Damit die 2 hier verschwindet, müssen wir 2×1 davon abziehen, und um das machen zu dürfen, 2. Zeile - 2× der 3. Zeile. Hier oben wollen wir die 3 zu 0 machen, und dafür müssen wir 3×1 abziehen, und zwar 3× diese 1 aus der 3. Zeile. Wir rechnen jetzt also 1-(3×0), 1-(3×0), 3-(3×1) und 8-(3×1). Kommen wir zur 2. Zeile: 0-(2×0), 1-(2×0) und 2-(2×1) und 2-(2×1) noch mal 0. Also haben wir jetzt die Lösung: x2=0. Und die 3. Zeile schreiben wir wieder einfach ab. Unsere Hauptdiagonale ist fast fertig, uns stört nur noch diese 1. Und um die zu eliminieren, die liegt ja in der 2. Spalte, benutzen wir die 2. Zeile: 1-0 bleibt 1, 1-1 wird 0, 0-0 bleibt 0 und 5-0 bleibt auch 5. Jetzt können wir auch das Ergebnis für x1 ablesen: x1=5. So, und damit wären wir auch fertig. Wenn euch das jetzt etwas zu schnell ging, können wir das Ganze gleich noch mal im Übungsvideo üben. Okay, bis zum nächsten Mal! Ich werde es im Übungsvideo übrigens absichtlich etwas anders aussehen lassen. Jetzt aber tschau!

Informationen zum Video
5 Kommentare
  1. Img 6384

    PERFEKT erklärt ! Viiiiielen Dank!!!

    Von Tina Saltner, vor mehr als 2 Jahren
  2. Foto

    Hallo Steph, ich muss mich mal bei dir bedanken. Deine Videos zur Mathematik der Oberstufe sind wirklich super leicht verständlich!

    Von Eric R., vor mehr als 2 Jahren
  3. Printimage

    Danke für den lieben Kommentar =)
    Und danke Susi für das wechseln des Startbildes =)

    Von Steph Richter, vor mehr als 3 Jahren
  4. Default

    Endlich mal ein verständliches Video für den Gauß, danke! :-)

    Von A Ottenschlaeger, vor mehr als 3 Jahren
  5. Printimage

    Wer ist eigentlich für die Startbilder verantwortlich?!?

    Von Steph Richter, vor etwa 6 Jahren