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Transkript Ganzrationale Funktionen – Definition

Hallo! Hier ist die Form, die ein Term haben muss, um ein Polynom zu sein. Die weiteren Eigenschaften, die erfüllt sein müssen, damit ein Term ein Polynom ist, habe ich jetzt mal weggelassen. Es geht hier mehr um diese Form. Warum sind Polynome so wichtig? Da gibt es ganz viele Gründe. Einer der Gründe ist: Die Polynome haben mit einer Funktionsklasse zu tun, nämlich mit den ganz rationalen Funktionen. Die wiederum bilden ein wichtiges Thema in der Schulmathematik. Wie sind ganz rationale Funktionen definiert? Das sind Funktionen, deren Funktionsterm ein Polynom sein kann. Was bedeutet das? Das möchte ich an einem Beispiel erläutern. Hier kommt eine Funktion mit einem Funktionsterm. Wir haben also f(x)=-x× \sqrt3+1/5 -9x² -x4. Das ist eine Funktion, das hier ist der Funktionsterm dieser Funktion, und ich behaupte: Dieser Funktionsterm kann in Form eines Polynoms geschrieben werden. Es gibt also einen ergebnisgleichen Term, der ein Polynom ist. Deshalb ist die Funktion, die hier steht, eine ganz rationale Funktion. Wie können wir das übersetzen? Wie wird aus diesem Term hier ein Polynom? Wir sehen dieser Form schon an, dass der höchste Exponent am weitesten links steht. Dann kommt der zweithöchste Exponent, dann der dritthöchste Exponent und so weiter. Deshalb müsste -x4 erst einmal an den Anfang, also habe ich -x4. Die Frage ist: Was ist an? n ist der höchste Exponent, das ist 4, aber welche Zahl steht vor dem x4? Hier steht erst mal nur ein Minuszeichen, aber wir können daraus eine -1 machen. -x4 = -1×x4. Damit ist a n=-1. Dann mache ich weiter mit x³. x³ ist hier gar nicht vorhanden, es kann aber trotzdem im Polynom vorkommen, nämlich dann, wenn der Koeffizient vor dem x³ =0 ist. Also kann ich hier einfach hinschreiben +0×x³. Damit die Form gewahrt bleibt, kann man hier diesen Summanden einfügen, am Ergebnis des Terms ändert 0×x³ nichts. Deshalb kann man es einfügen und der hier entstehende Term ist ergebnisgleich zu dem hier. Dann geht es weiter mit x². Da haben wir einen vernünftigen Koeffizienten. -9 ist der Koeffizient von x². Dann fehlt noch x1, das steht hier, auch etwas durcheinander gewürfelt. Wir wollen immer die Form haben: Zahl ×xExponent. Das ist hier anders. Hier steht erst das Minuszeichen, dann \sqrt3, eine ganz normale Zahl. Das ist kein Problem, das ist eine reelle, wenn auch irrationale Zahl. x1 steht auch hier, wenn nur das x da steht, bedeutet das x1. Das, was hier steht, kann ich also schreiben als -\sqrt3×x1. Dann kommt noch diese Zahl hier, 1/5. Man könnte noch ×x0 dazu schreiben, mach ich aber nicht und hier steht es auch nicht, also einfach +1/5. Damit ist unser Polynom perfekt. Ich möchte das, was hier steht, noch einmal in dieser Form schreiben. Wir haben a0, und wir haben ein a1×x. a1 ist in dem Fall \sqrt3. Dann haben wir a2, das ist -9, und wir haben a3 (=0)×x³ und ganz vorne a4×x4. Wenn du das hier anschaust, erkennst du das hier vielleicht eher wieder. Das ist die Form eines Polynoms 4. Grades. Damit ist diese Funktion eine ganz rationale Funktion, weil ihr Funktionsterm in Form eines Polynoms geschrieben werden kann. Man sagt auch kurz: Der Funktionsterm kann ein Polynom sein. Man macht sich in der Praxis, auch in der Schulpraxis, nicht immer die Mühe, solche Terme in ein reines, genaues Polynom zu bringen. Man sagt einfach: Hier ist die rationale Funktion. Das Umformen spart man sich häufig. Wenn du es sehr genau nimmst, müsste man das erst umformen, aber man lässt es weg. Viel Spaß damit, tschüss.

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1 Kommentar
  1. Dsc01560

    WOW ich habs verstanden *.*

    danke

    Von Johann S., vor fast 5 Jahren
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