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Transkript Ganzrationale Funktionen – Beispiele 2

Hallo! Ich habe hier 3 Funktionen vorbereitet und wir wollen einmal entscheiden, ob es sich bei diesen 3 Funktionen um ganzrationale Funktionen handelt. Das heißt, wir müssen entscheiden: Kann man diese Funktionsterme in ergebnisgleiche Polynome verwandeln? Ja, da fange ich hier vorne einfach einmal an. Wir haben: x4+4/x4. Das würde ich gerne in der Potenzschreibweise schreiben, damit wir dann schneller klären können, ob es sich hier um ein Polynom handelt. x4 bleibt einfach bestehen, wie es ist. Und dann haben wir hier - das schreibe ich auch als Produkt, diesen Bruch - wir haben 4×x^...ja, was eigentlich? Wir wissen: 1÷x4=x^-4. Ich hoffe, die Formel kennst du noch. Die sollte dir noch geläufig sein. Und 4/x4 ist dann natürlich 4×x^-4. Wir haben gesagt, dass in Polynomen nur natürliche Zahlen als Exponenten vorkommen dürfen. -4 ist keine natürliche Zahl, damit ist das hier erledigt. Das ist keine ganzrationale Funktion. Übrigens: Lass dich von den Brüchen nicht veräppeln. Ich schreibe eine weitere Funktion auf, die könnte so aussehen: g(x)=1/x^-1. Da gehen Schüler schon einmal nach Gefühl vor und sagen: "Ach, das ist noch komplizierter, das ist bestimmt erst recht gar keine ganzrationale Funktion." Doch, es ist eine. Wenn man nämlich übersetzt, was x^-1 bedeutet, dann haben wir hier stehen: 1/(1/x). Wie du dich ja erinnern kannst, hoffe ich zumindest, an die Doppelbrüche: 1/(1/x)=x. Und x ist ein Polynom. Der Koeffizient hier vorne ist 1, der Exponent ist 1. x ist ein Polynom vom Grad 1: a0=0. Ich schreibe es noch einmal hin: a1×x+a0. Wenn a0=0, dann haben wir hier ein Polynom und hier steht eine 1 davor: 1×x+0 ist ein Polynom. Jetzt habe ich schon den klitzekleinen Fehler gemacht, dass ich einfach gesagt habe: "x ist ein Polynom." x selber ist es, wenn man es ganz genau nimmt, natürlich nicht. Sondern erst 1×x+0 ist das Polynom. Das war nicht ganz exakt. Ich hoffe, du kannst mich trotzdem verstehen. Dann möchte ich einmal weitermachen mit dieser zweiten Folie hier. Das ist wieder so eine ähnliche Funktion und wir können folgendermaßen vorgehen: Das hier kann man erst einmal als Produkt schreiben. Wir haben: ¼×x4. Ich hoffe, du siehst das einfach, dass man das so schreiben kann. Das hast du in der Bruchrechnung gemacht, das ist lange her, solltest du aber nicht vergessen haben. +x4. Ich glaube, viel ist dazu jetzt wirklich nicht mehr zu sagen. Dann kann man das Distributivgesetz anwenden. Hier steht ja: 1×x4 und dann kann man also schreiben: (¼+1)×x4. Das kann ich hier noch zusammenfassen zu 5/4 .., auch das darf man ruhig wissen. Ich hoffe, du kannst es ohne Taschenrechner: 5/4×x4. Das ist ein Polynom, bzw. wenn man es wieder ganz genau nimmt, könnte man hier sagen, ich muss es erst in die Formen bringen, dass es ein Polynom ist, das ist: 5/4×x4+0×x3+0×x2+0×x+0. Wenn man es ganz genau nimmt, ist das das Polynom. Aber meistens sagt man hier, das ist auch ein Polynom und das andere lässt man weg. Dann haben wir die beiden Formen hier. Die dritte Möglichkeit sieht so aus, wir haben: x4/4+4x. Hier kann ich wieder das verwenden, was ich gerade schon gemacht habe. Es ist: 1/4×x4. Aber was machen wir mit 4x? Das ist ein Term, wie er in Exponentialfunktionen vorkommt. Das ist eine völlig andere Baustelle. Ich will gar nicht so groß darüber reden, wie man das beweist, dass 4x tatsächlich kein Polynom sein kann. Auch das kann man beweisen, wird in der Schulmathematik nicht gemacht. Das ist so ein bisschen die Frage, wenn ich einen Kugelschreiber und ein Käsebrötchen habe: Wie kann ich beweisen, dass der Kugelschreiber kein Käsebrötchen ist? Man weiß ja, dass es unterschiedlich ist. Und das weiß man von Exponentialfunktionen und ganzrationalen Funktionen auch. Deshalb wird das in der Schulmathematik nicht weiter bewiesen, dass eine Exponentialfunktion kein Polynom sein kann. Ich glaube, damit können wir auch zufrieden sein. Jetzt werde ich einfach noch einmal hier, damit das Gleichheitszeichen dann auch richtig ist, die Sache komplett hinschreiben. Damit ist die Sache dann auch erledigt. Viel Spaß damit, tschüss.

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1 Kommentar
  1. Default

    er kann am besten alles erkennen ;)
    danke sie helfen mir sehr viel weiter

    Von Aylin Mak, vor etwa 6 Jahren
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