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Transkript Ganzrationale Funktionen – Beispiele 1

Hallo! Hier habe ich 3 Funktionen vorbereitet und es ist zu klären, ob diese Funktionen ganzrationale Funktionen sind. Eine ganzrationale Funktion ist ja dann eine solche, wenn ihr Funktionsterm als Polynom geschrieben werden kann, das heißt, wir müssen uns hier überlegen: Gibt es ergebnisgleiche Terme, die Polynome sind? Da fange ich mal hier an. So wie das jetzt aussieht, ist es kein Polynom, aber ich könnte ja hier die Reihenfolge verändern und schreiben -\sqrt7×x2+1. Das ist jetzt schon fast ein Polynom. Oft wird auch gesagt, das ist einfach eines, weil man es nicht ganz so genau nimmt. Aber ich nehme das jetzt hier mal genau. Gerade am Anfang, wenn man mit den Polynomen umgeht, kann man das ruhig ein mal richtig machen. Wenn du dann mehr Erfahrung hast, dann siehst du das sowieso den meisten Termen an, ob sie Polynome sind oder nicht und dann brauchst du gar nichts mehr zu rechnen. So, warum ist es nicht ganz ein Polynom? Wir haben hier einen Term mit x2 und es fehlt der Summand mit x1 und deshalb kann ich hier einfach hinschreiben: +0×x1, oder +0×x einfach und dann +1 und das Polynom sieht dann so aus - ich möchte hier einfach mal diese Schreibweise verwenden, die man bei Polynomen normalerweise verwendet - a2×x2+a1×x1+a0, ×x0 könnte noch dahinter, lasse ich jetzt aber weg. Das heißt, das ist jetzt die Schreibweise, die du von der Definition des Polynoms kennst. a2 ist hier -\sqrt7. \sqrt7 und auch -\sqrt7 ist eine ganz normale Zahl. Das darf da natürlich stehen. a1=0 und a0=1 und damit ist das hier ein Polynom geworden. Das ist jetzt eine ganzrationale Funktion. Das sieht so ähnlich aus und ich hoffe, da fällt dir gleich eine Sache ein, wenn du das hier siehst, diese Wurzel mit 2 Faktoren und der Wurzel, wie man so sagt. Der Radikand - das, was unter der Wurzel steht, besteht aus 2 Faktoren. Da kann man ein Wurzelgesetz anwenden, und zwar kann man aus einem Produkt faktorweise die Wurzel ziehen. 7 ist der eine Faktor, x2 ist der andere Faktor. An dieser Stelle tritt häufig ein Fehler auf, den ich jetzt auch mal nur pro forma machen möchte. Ich forme folgendermaßen um. Also, jetzt kommt das, was falsch ist. Warum ist das falsch? Viele Schüler sagen mir dann, warum, x2 ist doch immer nicht negativ? Es kann 0 sein, wenn x=0 ist. Wenn x!=0 ist, ist x2 positiv, das heißt, die Wurzel ist definiert, und wenn ich hier zum Beispiel für x 2 einsetze, dann rechne ich ja hier erst x2, das ist 4, und dann ziehe ich die Wurzel aus 4. Die Wurzel aus 4 ist 2 und dann steht da wieder 2, also das, was ich für x eingesetzt habe. Bis dahin richtig. Aber wenn ich jetzt für x -2 einsetze, dann rechne ich hier erst x2, also (-2)2. Das ist +4. Dann ziehe ich die Wurzel aus +4 und das ist +2 und das ist eben nicht gleich x, denn für x habe ich ja -2 eingesetzt. Also, diese Umformung stimmt nicht. Sie ist aber jetzt richtig, wenn ich die Betragsstriche verwende. Betrag von x kennst du hoffentlich. Falls nicht, solltest du das kennen. Der Betrag macht die Zahl immer positiv kann man so ganz salopp sagen. Ich verzichte jetzt hier auf die exakte Definition, das ist ein anderes Thema. Es ist der Betrag von x, das heißt also, wenn man hier für x eine negative Zahl einsetzt, dann kommt eine positive Zahl hier heraus. Dieser Betrag ist nicht Teil eines Polynoms, das heißt, das hier ist keine ganzrationale Funktion, weil das hier kein Polynom ist. Ich verzichte auf den ganz exakten Beweis dazu, dass das hier kein Polynom ist. Ich glaube, es reicht, wenn man das weiß. Wenn man andere Funktionstypen hat, dann kann man da einfach davon ausgehen, dass es keine Polynome sind. Das soll hier mal so reichen. Dann habe ich noch eine Sache hier vorbereitet, nämlich f(x)=(-x+1)×(x+1)+(x-1)2. Und ich hoffe, dass dir da auch direkt was einfällt, nämlich hier bei diesem Term die dritte binomische Formel. Ich schreibe das noch mal anders auf, damit das vielleicht etwas plakativer ist. (1-x)×(1+x) - ich glaube, so hast du häufig die binomische Formel gesehen. Dann steht hier a-b und da steht a+b, und wenn die beide miteinander multipliziert werden, da komme ich gleich dazu, was dann rauskommt. So, und da könnte man natürlich sagen: Das sieht ja schon ziemlich nach quadratischem Polynom aus, also Polynom 2. Grades. Schauen wir mal, wie es wird. Also, wenn ich jetzt hier die dritte binomische Formel anwende, kommt da raus 12-x2, das ist 1-x2. Hier kann ich die zweite binomische Formel anwenden und das ist dann x2-2x+12.12 ist ja 1. Deshalb schreibe ich hier gleich die 1 hin. Und jetzt sehen wir also, dass sich hier -x2 und +x2 zu 0 addieren und damit habe ich hier -2×x+2, 1 und 1 ist 2. Ich schreibe es mal in der Weise auf, die du von der Definition der Polynome her gewohnt bist. Das ist also ein Polynom 1. Grades - a1=-2, a0=+2. Es ist ein Polynom 1. Grades deshalb, weil der höchste Exponent, der an einem x steht, gleich 1 ist. Ich kann ja statt x auch x1 schreiben. Das ist auch so die allgemeine Methode, wenn man eben nachweisen möchte, dass ein bestimmter Term ein Polynom ist, dann gibt an, welchen Grad der Term hat, welchen Grad dieses Polynom hat, und man gibt an, was die Koeffizienten sind. Also: a0, a1, a2, a3, und so weiter, je nachdem, was man da braucht. Hier habe ich eben angegeben a1=-2, a0=2. Und das reicht dann zum Nachweis, dass ein bestimmter gegebener Term ein Polynom ist, aus. Damit ist die Sache hier fertig. Viel Spaß damit. Tschüss.

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1 Kommentar
  1. E07cb437c4b5006dce9042ca8cd72df6

    danke schön erklärt

    Von Florianglaser, vor fast 7 Jahren
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