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Transkript Funktionen mit mehreren Veränderlichen – Einführung

Hallo. In diesem Video möchte ich mal ein paar Funktionen vorstellen, die nicht nur von einer Variablen, sondern von mehreren Variablen abhängen. Das ist der Caspar und der isst für sein Leben gern Eis. An seiner Lieblingseisdiele haben die Eissorten aber verschiedene Preise. Seine 3 Lieblingssorten sind: Erdbeere, da kostet die Kugel 80 ct, Minze, da kostet die Kugel 90 ct und Schlumpfeis, da kostet die Kugel 1 Euro. Er hat seine 3 Lieblingssorten auch gleich schon entdeckt. Die Frage ist jetzt, je nachdem, wie viele Kugeln er sich von welcher Sorte nimmt, was muss er am Ende bezahlen? Sagen wir mal, er kauft x Kugeln Erdbeere, y Kugeln Minze und z Kugeln Schlumpfeis. Dann zahlt er am Ende Anzahl der Erdbeerekugeln×80 ct+Anzahl der Minzekugeln×90 ct+Anzahl der Schlumpfeiskugeln×1Euro. Der Preis ist also eine Funktion, die von den 3 Variablen x, y und z abhängt und man könnte ihn schreiben als 0,8x+0,9y+z. Wenn der Caspar jetzt mal wieder so richtig reinhaut und sich dieses Eis bestellt, dann setzen wir also für x 3 ein, für y 3 und für z 2. Und da kommt dann raus: 7,10 Euro. Das wäre also der Funktionswert zu dem Zahlentripel 3, 3, 2. Ein weiteres Beispiel ist der Flächeninhalt eines Rechtsecks. Der Flächeninhalt ist dabei die Funktion, und die hängt ab von 2 Variablen, nämlich von der Länge und der Breite. Der Funktionswert ergibt sich dabei aus Länge×Breite. Jedes Paar von Seitenlängen wird also eindeutig einem Flächeninhalt zugeordnet. Das ist also genau so eine Zuordnung, die wir uns unter einer Funktion vorstellen, nur dass wir nicht einen Wert in die Funktion reinstecken, sondern Paare von Werten - a und b sind dabei jeweils positive reelle Werte und der Flächeninhalt ist dementsprechend auch positiv reell. Der Definitionsbereich dieser Funktion wäre also die Menge aller Paare (a,b), für die gilt, dass a und b jeweils positive reelle Zahlen sind und der Funktion wären die positiven reellen Zahlen. Betrachten wir mal ein Beispiel aus der Physik. Da haben wir die Stromstärke I. Die hängt ab von den unabhängigen Variablen Spannung und Widerstand, nämlich setzt sie sich zusammen aus I=U/R. Hier ist der Definitionsbereich die Menge aller Paare (U,R), für die gilt, dass die Spannung eine reelle Größe ist und der Widerstand > 0 ist. Hier handelt es sich also um eine Funktion, die von 2 Variablen abhängt, und wenn das der Fall ist, hat man eine sehr schöne Möglichkeit, die Funktion darzustellen, nämlich in einem dreidimensionalen Koordinatensystem. Dabei entsprechen die x- und y-Achse den Variablen und die z-Achse entspricht dem Funktionswert. Ein Zahlenpaar aus dem Definitionsbereich entspricht also einem Punkt in der x-y-Ebene, und dem wird eine bestimmte Höhe zugeordnet. Möchte man jetzt Teile des Funktionsgraphen in das Koordinatensystem eintragen, bietet es sich an, eine der Variablen konstant zu lassen und die Funktion nur als Funktion in Abhängigkeit von der anderen Variablen zu betrachten. Wenn wir zum Beispiel R=1 wählen, dann ist I=U/1, also I=U, das heißt, in der Ebene, in der R=1 ist, entspricht der Funktionsgraph der Winkelhalbierenden. Wählen wir R=2, dann ist I=U/2, das heißt, in der Ebene, wo R=2 ist, entspricht der Graph einer Geraden, die durch den Ursprung geht und die Steigung ½ hat. Die ist also schon ein bisschen Flacher. Setzen wir R=½, dann ist I=U/½, also I=2U, das heißt,  in der Ebene R=½ haben wir eine Gerade durch den Ursprung mit der Steigung 2. Und jetzt hab man schon so einen gewissen Eindruck von dem Funktionsgraphen. Das scheint also eine Geradenschar zu sein, bei der die Geraden für größer werdendes R immer flacher abfallen. Wenn wir jetzt mal U fest wählen, zum Beispiel U=1, dann haben I=1/R. Das heißt, in der Ebene U=1 entspricht der Graph einer Hyperbel. Wir sehen also sogar, in welchem Maße die Geraden abfallen. Mit dieser Bewegung könnte man sich den Verlauf des Graphen also verdeutlichen. Eine solche Funktion, die von genau 2 Variablen abhängt, kann man also als Bergfunktion bezeichnen. Jedem Punkt in der x-y-Ebene wird eine Höhe zugeordnet, sodass der Graph eine Art Relief, also eine Art Gebirge über der x-y-Ebene ergibt. Das könnte jetzt zum Beispiel so aussehen. So sieht dann ein lokales Maximum einer solchen Funktion aus und so zum Beispiel eine hebbare Definitionslücke. Da wäre dann also einfach ein Loch in dem Relief. So, das genügt dann erst mal als kleiner Einstieg. Wir haben also gesehen, woher solche Funktionen kommen und wie man Funktionen, die von genau 2 Variablen abhängen, zeichnen kann.

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7 Kommentare
  1. Bewerbungsfoto

    Hallo Christiane,
    ja solche Videos habe ich:
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/rekonstruktion-ganzrationaler-funktionen-uebersicht-eigenschaften
    und
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/ganzrationale-funktionen-aus-gegebenen-eigenschaften-bestimmen
    Die Links funktionieren nicht direkt, du müsstest sie in deinen Browser kopieren. Wenn du Fragen zu den Videos hast, schreib ruhig wieder.

    Von Steve Taube, vor fast 2 Jahren
  2. Default

    Ich wollte fragen ob, Sie ein Video haben mit Ganzrationaler Funtionen 4. Grades, wobei man umgekehrt die Koeffizienten der gesuchten Funktion (a,b,c) finden muss entweder durch Additionsverfahren, Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren. Dabei ist zum Beispiel ein Wendepunkt gegeben, also 2. Ableitung muss man erst erstellen, und in manchen Punkten( Symmetrie) die 1. Ableitung. Mit Hilfe zweier Punkte kann man I, II,III, IV Teilgleichungen erstellen und dann die Koeffizienten berechnen.

    Von Christianeseddon, vor fast 2 Jahren
  3. Default

    Ich wollte fragen ob, Sie ein Video haben mit Ganzrationaler Funtionen 4. Grades, wobei man umgekehrt die Koeffizienten der gesuchten Funktion (a,b,c) finden muss entweder durch Additionsverfahren, Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren. Dabei ist zum Beispiel ein Wendepunkt gegeben, also 2. Ableitung muss man erst erstellen, und in manchen Punkten( Symmetrie) die 1. Ableitung. Mit Hilfe zweier Punkte kann man I, II,III, IV Teilgleichungen erstellen und dann die Koeffizienten berechnen.

    Von Christianeseddon, vor fast 2 Jahren
  4. Bewerbungsfoto

    Hallo Issam,
    das sind nicht die Steigungen, sondern es sind Teile des Graphen. Der Graph der Funktion ist eigentlich eine Fläche. Ich habe in meinem Koordinatensystem aber immer nur Ausschnitte dieser Fläche eingezeichnet. Es sind Geraden, die auf der Fläche liegen.

    Von Steve Taube, vor mehr als 2 Jahren
  5. Default

    eine frage geben die blauen und roten lienien bei Stromstärke, sind das Steigungen in einem Punkt, kann man es auch so formulieren?

    Von Issam Stayler, vor mehr als 2 Jahren
  1. Default

    Was ist Schlumpfeis?

    Von Bernd S., vor etwa 7 Jahren
  2. Default

    super Video :-)

    (mfg Caspar)

    Von Deleted User 2550, vor mehr als 7 Jahren
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