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Transkript Funktionen – formale Definition

Willkommen zu diesem Video. Es geht um reelle Funktionen. Ein Beispiel, das wir uns zunächst erst mal anschauen, ist das, was man aus der Zeitung kennt. Man hat da häufig solche Kurven, und diese Kurven beschreiben den Wert einer Aktie zu verschiedenen Zeitpunkten. Zum Zeitpunkt t1 zum Beispiel wäre der Wert der Aktie w1, und zu einem späteren Zeitpunkt t2 wäre der Wert der Aktie w2, und nehmen wir noch einen Zeitpunkt, irgendwie hier, Zeitpunkt t3, da ist der Wert fast der gleiche, ein bisschen kleiner, w3. Diese Zuordnung, die im Zeitpunkt t  - ein Wert der Aktie zu diesem Zeitpunkt, schreiben wir ihn als w(t) -  zuordnet, das nennt man eine Funktion. Man kann so eine Funktion auch darstellen in Form einer Tabelle, also dass man die interessierenden Zeitpunkte hier einträgt, verschiedene Zahlen also, reelle Zahlen, die Zeitpunkte beschreiben, und hier auf der anderen Seite die Funktionswerte, die Werte der Aktie zu verschiedenen Zeitpunkten eben hier in die rechte Spalte schreibt. Und diese Zuordnung, die diesem t ein w(t), eine reelle Zahl w(t) zuordnet, so etwas nennt man eine Funktion. Und allgemein sieht die Definition wie folgt aus: Eine Funktion f ist eine Zuordnung, die jedem Element aus einer Menge A, nennen wir es x, eine Zahl y aus der Menge B zuordnet. A und B sollen hierbei Teilmengen der reellen Zahlen sein, also die Menge irgendwelcher reellen Zahlen. A und B können auch die ganzen reellen Zahlen sein. Eine Zuordnung f nennt man dann Funktion, wenn jedem x aus A, jeder Zahl x aus A, eindeutig ein Element y aus B zugeordnet wird, und man schreibt dann auch f(x)=y, um auszudrücken, dass diese Zahl x durch f auf das y abgebildet wird. Man spricht davon, dass das x auf y abgebildet wird und es wird diesem x ein y zugeordnet und A ist also die Menge derjenigen Zahlen, für die f festgelegt ist. Für die festgelegt ist, auf welche Zahl y sie abgebildet werden und man nennt diese Menge den Definitionsbereich von A und schreibt auch D Index f häufig, den Definitionsbereich. Die Menge B nennt man den Zielbereich. Da liegen all die Zahlen drin, die f den Zahlen in A zuordnet. Und man unterscheidet jetzt noch zwischen dem Zielbereich und dem Wertebereich. Der Wertebereich, geschrieben W Index f, besteht aus all den Zahlen f(x), die entstehen, wenn wir dem f alle möglichen x geben aus A, aus dem Definitionsbereich, und uns dann die Menge aller Funktionswerte anschauen. Dann ist das diese Menge aller möglichen Funktionswerte, der Wertebereich der Funktion f, also Wf ist der Wertebereich. Nun kann man, wie wir gesehen haben, eine Funktion auch beschreiben über eine Linie, die man so zeichnet und die also jetzt beschreibt, dass diesem x1, dass dieser Zahl x1 hier drüben eine Zahl y1 zugeordnet wird. Diese Linie nennt man dann den Graphen der Funktion f, und wenn man diese Linie als Teilmenge des R² auffassen möchte, also als Teilmenge dieser Ebene, die ja aus solchen Punkten besteht, die man beschreibt über Zahlenpaare, also über die Angabe der Koordinaten, in diesem Fall hätte der Punkt die Koordinaten (x1, y1). Diese Linie als Teilmenge dieses R² nennt man dann den Graphen von f und schreibt Gf und das wäre also die Menge aller Punkte in der Ebene, die die Form haben: ein x-Wert aus dieser Achse und hier hätte man als 2. Element des Zahlenpaares den Funktionswert, der zu diesem x gehört. Und wenn man also alle möglichen Zahlenpaare betrachtet, für alle möglichen x aus A, schaut man sich diese Zahlenpaare an, bestehend aus den Zahlen x aus dem Definitionsbereich und den dazugehörigen Funktionswerten, dann ist diese Menge der Graph von f als Teilmenge des R². Nun ist es aber so, dass nicht jede Linie der Graph einer Funktion ist. Nehmen wir mal diese Linie. Kann diese Linie der Graph einer Funktion sein? Die Antwort ist nein, denn nehmen wir doch alleine mal diesen x-Wert hier. Dieser Zahl werden hier durch diese Linie 2 mögliche Zahlen auf der senkrechten Achse zugeordnet und diese Linie beschreibt also nicht irgendeine Funktion und kann deswegen auch nicht der Graph einer Funktion sein. Und selbst hier hätte man, man könnte ja diesen Teil hier abtrennen und sagen, der interessiert uns nicht und nur die Linie von hier aus beginnend betrachten, dann gäbe es hier schon so Problemchen. Da wird einmal dieser Zahl die 0 zugeordnet und diese. Nimmt man allerdings noch mehr weg, dann kann man daraus tatsächlich einen Graph machen. Sagen wir mal, die Linie beginnt hier und läuft hier so rüber, dann hätte man das tatsächlich als einen Graph. Sagen wir mal, das geht von -1 bis zur 2, dann, und hier wieder die 1, dann ist es tatsächlich so, dass dieses Stück den Graphen einer Funktion beschreibt, denn jedem Wert hier wird eindeutig ein y-Wert hier auf der senkrechten Achse zugeordnet. Der Definitionsbereich A wäre dann das Intervall von -1 bis zur 2 und dann hätte man also hier mit dieser Linie den Graphen der Funktion, um die es geht. So, das wars dann zum Funktionsbegriff, vielen Dank fürs Zuschauen.

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2 Kommentare
  1. Default

    gut erklährt danke:)

    Von Tanya Elshorst, vor etwa einem Jahr
  2. Default

    gut erklärt, aber die Pausen zwischen den Worten haben mich etwas irritiert :)

    Von Alex5612, vor mehr als 3 Jahren