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Textversion des Videos

Transkript Flächenwinkel im Tetraeder

Hallo, liebe Freundinnen und Freunde der Mathematik! Herzlich willkommen zum Video: "Der Flächenwinkel im Tetraeder". Kommen wir zu den Lernvoraussetzungen: Als 1. solltet ihr über Geometrie und Koordinatensysteme gut Bescheid wissen. Als 2. solltet ihr Vektoren, Skalarprodukte und die Orthogonalität kennen. Als 3. solltet ihr über Geraden- und Ebenendarstellungen im Raum gut Bescheid wissen. Ich würde sagen, dass dieses Video geeignet ist für Schülerinnen und Schüler der 12. bzw. 13. Klassen. Jüngere Interessierte oder auch ältere Zuhörer sind gerne gesehen. Ziel des Videos ist es, den Winkel zwischen 2 Flächen im Tetraeder zu bestimmen. Um diese Aufgabe anzugehen, habe ich zuerst einmal ein Koordinatensystem im Raum für den 1. Quadranten gezeichnet. Für die Lösung unseres Problems empfiehlt es sich, ein Quadrat im 1. Quadranten einzuzeichnen, sodass das Quadrat eng an den entsprechenden Seiten anliegt. Die grünen Koordinatenachsen des Koordinatensystems gehen durch die unsichtbaren Linien des Quadrates. Die Seitenlänge des Quadrates ist beliebig. Vorteilhaft ist, und dafür entscheide ich mich hier, sie als 1 zu wählen. Aus einem Quadrat macht man geometrisch recht einfach ein Tetraeder, indem man 2 diagonale Eckpunkte an einer Flächendiagonalen auswählt und dazu versetzt auf der gegenüberliegenden Flächenseite das gleiche Verfahren verwendet. Das sind die Eckpunkte des Tetraeders. Die Koordinaten der Eckpunkte des Tetraeders sind dann: PX(1/0/0), PY(0/1/0), PZ(0/0/1) und PR(1/1/1). Den Flächenwinkel können wir zwischen 2 beliebigen, verschiedenen Ebenen herauswählen, den das Tetraeder einschließt. Ich habe mich entschieden, für E1 die Punkte PX, PY und PZ zu benutzen. Die Ebene E2 wird durch die Punkte PX, PY und PR bestimmt. Ganz rechts oben habe ich die wichtigste Formel für unser Verfahren aufgeschrieben. Der Winkel, der von den Ebenen E1 und E2 gebildet wird, ist gleich dem Winkel, der entsprechenden Normalen n1 und n2 zu den Ebenen. Eine Normale zu einer Ebene ist ein beliebiger Vektor, der senkrecht auf dieser Ebene steht. Wir müssen nun als nächsten Schritt die beiden Normalenvektoren n1 und n2 bestimmen. n1 ist einfach aus dem Koordinatensystem ablesbar. Er ergibt sich aus den Achsenschnittpunkten für die x-, y-, und z-Achse. Das heißt, er ist ermittelbar aus den Punkten PX, PY und PZ. Demzufolge ist n1 (hier orangefarben gekennzeichnet) (1/1/1). Um n2 zu bestimmen, müssen wir ein wenig arbeiten. Die Ebene E2 (blau gekennzeichnet) wird durch die beiden Vektoren v und u aufgespannt. Die Koordinaten für v und u erhalten wir aus den entsprechenden Punkten PX, PY und PR. Wir wissen nun aber, dass v orthogonal zu n2 sein muss, genauso wie u orthogonal zu n2 sein muss. Das bedeutet, dass die jeweiligen Skalarprodukte 0 sind. v×n2=0 und u×n2=0. v bestimmt man, indem man die entsprechenden Koordinaten der Punkte PR und PX voneinander subtrahiert. Wir erhalten für X: 1-1=0, für Y: 1-0=1 und für Z: 1-0=1. Genauso verfahren wir mit u: 1-0=1, 1-1=0 und 1-0=1. Der orthogonale Vektor n2 möge die Koordinaten X, Y und Z besitzen. Multipliziert mit dem Vektor v 011 erhalten wir für das Skalarprodukt: X×0+Y×1+Z×1. Die 2. Gleichung ergibt sich aus dem Vektor mit den Koordinaten XYZ×dem Vektor mit den Koordinaten 101 = das Skalarprodukt X×1+Y×0+Z×1=0. Wenn wir beide Gleichungen vereinfachen, so erhalten wir am rechten, unteren Bildrand: Y+Z=0 und darunter X+Z=0. Eine bequeme und überschaubare Lösung dieses Gleichungssystems ist: X=1, Y=1 und Z=-1. Damit haben wir den orthogonalen Vektor n2 erhalten. Er beträgt: (1/1/-1). Den Winkel zwischen n1 und n2 bestimmen wir mit der Formel: cosγ=n1×n2 (gemeint ist das Skalarprodukt) /n1(Betrag)×n2(Betrag). Wir setzen n1 und n2 in diese Formel ein und erhalten im Zähler (ganz rechts): 1×1+1×1+1×-1, das ist das Skalarprodukt. Im Nenner erhalten wir: \sqrt1²+\sqrt1²+\sqrt1²×\sqrt1²+1²+(-1)². Weiter geht es in der letzten Zeile, unten rechts. Wir erhalten: 1/(\sqrt3×\sqrt3),\sqrt3×\sqrt3=3, also ergibt sich als Ergebnis 1/3, cosγ=1/3. Mit dem Taschenrechner bestimmen wir das ungefähre Ergebnis von Gamma. Der Winkel beträgt etwa 70,53°. Für eine exakte Beschreibung müssen wir die Umkehrfunktion bemühen. Wir erhalten: γ=arccos(1/3). So, das wäre es auch schon wieder für heute. Ich wünsche euch alles Gute und viel Erfolg. Tschüss!

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