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Transkript Flächeninhalt von Dreiecken – Höhe und Seite verdoppeln

Hallo, bonjour, hier ist eine Aufgabe: Die Höhe und die dazugehörige Grundseite eines Dreiecks werden verdoppelt. Was ist mit der Fläche? Kann man das sehen? Gilt das auch bei stumpfwinkligen Dreiecken? Gilt das auch, wenn man jede Seite verdoppelt? Also, wie geht man da vor? Man könnte sich als erstes mal ein Dreieck zeichnen. Irgendeins, um das mal auszuprobieren. Einfach mal verstehen, was in der Aufgabe gesagt wurde. Auch unabhängig von dem Akzent, denn man jetzt nicht genau nachvollziehen kann. Einmal Dreieck zeichnen, so. Und jetzt könnte man, das ist die Höhe. Das hier soll die Grundseite sein und hier ist eine Höhe. Die zugehörige Höhe zu dieser Grundseite. Eine Grundseite muss ja nicht immer auf dem Boden stehen oder so. Wenn man die jetzt verdoppelt, du kannst das in deinem Heft selbstverständlich viel genauer machen, dann hat man ein neues Dreieck. Das muss ich jetzt auch so machen, sonst wird das hier überhaupt nichts. Da kann ja keiner mehr etwas lesen. Und die Grundseite hier muss ich auch verdoppeln, so ungefähr. Und dann kommt da so etwas Ähnliches heraus. Jetzt hat man vielleicht erwartet, dass die Seiten des verdoppelten Dreiecks quasi, also da, wo die Höhe und Grundseite verdoppelt wird, dass die dann parallel zueinander sind. Aber hier kann man das ganz klar sehen. Diese beiden Seiten sind nicht parallel, sie haben hier den gleichen Startpunkt und gehen hier auseinander. Das Gleiche gilt für diese beiden Seiten. Sie sehen zwar ein bisschen parallel aus, sie sind es aber nicht, weil die hier schon nicht parallel sind. Was kann man jetzt über die Fläche sagen? Also so würde ich sagen, erst einmal garnichts. Also ich kann das jetzt nicht erkennen, wieviel größer die Fläche des schwarzen Dreiecks im Vergleich zum roten Dreieck ist. Was man aber machen kann, man bemüht einfach die Formeln, die man kennt. Wir haben eine Flächenformel, die ist: A(Fläche)=1/2×g×h. Und was passiert jetzt, wenn man die Grundseite und die Höhe verdoppelt? Dann steht hier 2×g×2×h. Und das zusammen, brauche ich nicht großartig zu erklären, das ist 4. Das heißt, dieser Term hier ist 4 mal größer, als dieser Term. Um das vierfache größer. Das bedeutet, wenn man Grundseite und Höhe verdoppelt, bekommt man hier 4A. Das heißt also, das schwarze Dreieck hier hat eine 4 mal größere Fläche, als dieses rote Dreieck. Vielleicht haben manche gedacht, die Fläche müsste sich verdoppeln, ist aber nicht so. Ein kleines Beispiel, du kennst das von Quadraten. Das ist ein kleines Quadrat. Und wenn ich jetzt diese Seite verdoppele und die auch, dann bekomme ich so ein Gebilde. Das heißt also 4 Quadrate. 4 Quadrate sind es dann geworden, wenn man beide Seiten verdoppelt. Also die Fläche vervierfacht sich dann. Jetzt ist immer noch die Frage, ob man das sehen kann. Und ob das mit den Seiten auch funktioniert. Und hier hilft es, wenn man sich mal die Seiten vornimmt und mal die Seiten verdoppelt. Ich wollte es nochmal rot machen. Wir haben hier wieder eine Grundseite. Ich male ein etwas anderes Dreieck jetzt, ist fast gleichseitig geworden. Das finde ich doof, es soll nicht gleichseitig sein. Dann ist es zu speziell. Da kann man vieles aus der Aufgabe hier nicht sehen, weil man dann immer das gleichseitige Dreieck sieht. Ich mache es doch so ähnlich wie da. Jetzt könnte ich Seiten verdoppeln, so und so. Und dann die beiden hier verbinden. Ja, und was jetzt passiert ist, glaube ich, kann man dann fast schon leicht erkennen. Ich kann hier noch eine Parallele zeichnen. Und eine Parallele zu dieser Seite. Und dann hat man das hier jetzt fast schwarz auf weiß. Nicht ganz, weil ja noch ein wenig rot drin ist. Wir haben 4 kongruente Dreiecke. So kann man das jetzt wirklich sehen. Wir haben die Seiten verdoppelt. Und es ist ja jetzt auch die Frage, hat sich die Höhe verdoppelt? Wenn ich jetzt hier einmal die Höhe im Dreieck habe, dann ist hier die andere Höhe im großen Dreieck. Und wenn dieses Dreieck kongruent ist zu dem hier, dann ist hier einmal die Höhe, und da nochmal die Höhe. Das ist ja gleich groß. Und dann hat sich also auch die Höhe verdoppelt. Und wie kann man das jetzt darauf übertragen? Man kann ja dieses schwarze Dreieck, oder diese Spitze des schwarzen Dreiecks, verschieben. Man kann ja ein Dreieck hin und her schieben, das hab ich ja schon öfter mit den Hölzchen vorgemacht. Zeige ich jetzt hier nicht nocheinmal. Und wenn die Höhe gleich bleibt dabei, dann ändert sich der Flächeninhalt nicht. Wir könnten dieses schwarze Dreieck, also die Spitze dieses schwarzen Dreiecks so verschieben, dass zum Beispiel diese Seite mit dieser roten Seite zusammen fällt. Und dann haben wir wieder diese Situation hier. Und dann kann man auch direkt sehen, dass dann das schwarze Dreieck eine vierfache Fläche im Vergleich zum roten Dreieck haben muss. Du darfst das nun gerne genauer begründen, das war hier nur eine Andeutung zur Beweisidee oder zum selberrechnen. Hier müsstest du noch zeigen, also beschreiben, was du genau gemacht hast. Und du müsstest dann zeigen, dass es sich wirklich um 4 kongruente Dreiecke handelt. Da kann ich nur sagen, wenn man die Seitenlängen verdoppelt, dann hat man quasi eine zentrische Streckung, ähnliche Dreiecke, Strahlensätze, das ganze Programm. Das kannst du jetzt alles anwenden. Oder Kongruenzsätze hast du mal gemacht. Die darfst du dir auch ruhig wieder ins Gedächnits zurück rufen. Also, da kannst du richtig loslegen und zeigen, dass du noch was weißt, von den vergangenen Jahren Mathematikunterricht. Viel Spaß damit, tschüss.

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2 Kommentare
  1. Img 20140719 wa0002 %281%29

    gut !

    Von Triziah E., vor 4 Monaten
  2. Default

    Das Video fand ich gut, es wurde auch gut erklärt. Ich bin mir allerdings nicht sicher, ob ich es verstanden habe, denn ich habe hier keine Aufgabe zu dem Thema gefunden und im Internet auch nicht.

    Von Rojnico, vor etwa einem Jahr