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Transkript Flächeninhalt eines Drachenvierecks

Hallo liebe Schülerinnen und Schüler! Herzlich willkommen zum Video "Geometrie Teil 38". Das Thema dieses Videos lautet: "Das Drachenviereck". Der Untertitel lautet: "(C) Flächeninhalt". Für die Herleitung habe ich mir ein grünes Drachenviereck genommen, das beruhigt die Nerven so schön. Wir werden den Flächeninhalt jetzt herleiten, indem wir die Längen der beiden Diagonalen benutzen. Die lange Diagonale habe ich bereits eingezeichnet, und ich werde nun noch die kurze Diagonale eintragen. Die lange Diagonale bezeichne ich mit e. Die kurze Diagonale bezeichne ich mit f. Im vorigen Video haben wir gezeigt, dass durch die Eintragung von Diagonalen kongruente Dreiecke entstehen. Das bedeutet, dass die Diagonalen durch ihren Schnittpunkt halbiert werden. Wir können nun den Flächeninhalt des Drachenvierecks als Summe dieser vier entstandenen Dreiecke darstellen.  Zunächst das Dreieck unten links, dann das Dreieck unten rechts, das Dreieck oben links und schließlich das Dreieck oben rechts. Wir drücken nun die einzelnen Summanden durch die entsprechenden Flächeninhalte aus. Wir beginnen mit dem Dreieck unten links. Also A = (und jetzt schreiben wir die Formel für das Dreieck) 1/2 × (e - x) × f/2, das Dreieck rechts unten hat den gleichen Flächeninhalt, es ist nämlich zu dem linken kongruent, also + 1/2 × (e-x) × f/2, jetzt schreiben wir die Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks links oben. Also: + 1/2x × f/2, das Dreieck rechts oben ist zum Dreieck links oben kongruent, hat somit den gleichen Flächeninhalt, also es geht weiter mit: + 1/2x × f/2. Wir begründen unsere Vorgehensweise mit dem Video G (15), wo wir gezeigt haben, dass man den Flächeninhalt von rechtwinkligen Dreiecken berechnen kann, indem man die beiden Seiten am rechten Winkel miteinander multipliziert und durch 2 teilt. Jetzt fassen wir zusammen: Zunächst die beiden Therme oben. Sie sind gleich, vorne steht 1/2, hinten steht auch 1/2, also verschwindet 1/2, denn 1/2 + 1/2 = 1. Wir schreiben also:  A = 1/2 (e-x) × f, jetzt vereinen wir die beiden Therme unten. Dort verschwindet auch jeweils 1/2, denn 1/2 + 1/2 = 1, also erhalten wir + 1/2x × f. Wir gucken uns die letzte Zeile an und stellen fest, dass beide Therme jeweils 1/2, rot eingekreist, und f als Faktor enthalten. Also können wir 1/2 × f ausklammern. Wir schreiben: A = 1/2f [(e-x), aus dem zweiten Term bleibt dann noch das x übrig, also + x] Die Zeile darunter: Wir lösen ganz einfach die runde Klammer auf; wir können sie weglassen, und dann haben wir in der eckigen Klammer einmal -x und einmal +x stehen. Diese beiden heben sich gegeneinander auf und wir erhalten in der dritten, dunkel geschriebenen Zeile von oben, A = 1/2f×e.  Jetzt können wir alle Zeilen, bis auf die Letzte, wegnehmen, und vertauschen lediglich e und f, denn gewohnheitsmäßig schreibt man die längere Diagonale zuerst. Wir erhalten also für den Flächeninhalt des Drachenvierecks A = 1/2e×f. Wem diese Herleitung zu mathematisch war, dem kann ich noch etwas anderes vorschlagen. Ich nehme mir nun ein weiteres Modell für unser Drachenviereck - dieses Mal ein blaues, es soll ein bisschen kühlen, obwohl der Tag heute in Berlin kalt ist. Ich trage die Diagonalen ein und bezeichne ihre Längen als e und f. Und jetzt mache ich eine ganz interessante Sache, die wir schon häufig verwendet haben: Kommt man mit einer Figur nicht aus, nimmt man eine Zweite, kongruente zu dieser. Und damit diese sich etwas davon abhebt, ist die zweite Figur keine blaue, sondern eine gelbe. Nachdem ich am heutigen Tage derartig viele Drachenvierecke verdorben habe, kommt es auf das Letzte auch nicht mehr an. Auch dieses wird durch Diagonalen geteilt - das muss nicht so kräftig sein, das dient nur mir als Vorlage für den Schnitt. Ich nehme mir nun eine Schere - ihr seht, es ist immer noch kongruent - und schneide drauf los. Und ihr könnt zuschauen. Ich erhalte vier Dreiecke, wovon zwei Paare kongruent zueinander sind. Und das Beste ist: sie sind auch kongruent zu jeweils einem Dreieck im blauen Drachenviereck. Ich lege oben an, ich lege unten an, ich lege unten an und ich lege oben an. Schaut euch diese Figur aufmerksam an. Ich habe durch das zweite Drachenviereck das Erste zu einem Rechteck ergänzt. Zum Ende möchte ich den Anteil zum Flächeninhalt eines Drachenvierecks am Flächeninhalt eines Rechtecks in eine kurze Merkthese kleiden: A = 1/2ef = die Hälfte des Flächeninhalts des Rechtecks mit den Seitenlängen e und f. Alles Gute! Tschüss!  

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