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Transkript Flächen zwischen Funktionsgraphen – Beispiele (1)

Hallo! In diesem Video wollen wir die Fläche zwischen den Graphen zweier Funktionen berechnen. Die Aufgabe lautet: Berechne die Fläche, die von den Graphen der Funktionen f(x)=x²-7x+13 und g(x)=-x+5x-3 eingeschlossen wird. So, wie wir das schon bei der Fläche zwischen dem Graph einer Funktion und der x-Achse gesehen haben, machen wir uns erst mal einen Überblick, indem wir uns den Graphen anschauen und gucken, welche Fläche denn gemeint sein könnte. So, das kann also hier eigentlich nur diese Fläche sein. Jetzt ist die Frage: Wie rechnet man die aus? Wir haben ja bisher schon mit Integralen gearbeitet, aber wir haben immer nur Flächen zwischen dem Graphen und der x-Achse berechnet und die Situation hier ist ja schon ein bisschen schwieriger. Was wir allerdings können ist, diese große grüne Fläche berechnen, denn das ist ja die Fläche, die von dem blauen Graphen und der x-Achse eingeschlossen wird. Und die grüne Fläche hier unten können wir auch berechnen, denn die wird ja von dem schwarzen Graphen und der x-Achse eingeschlossen. Und die rote Fläche wäre dann eben dann die große grüne minus die kleine grüne. Sowohl die große als auch die kleine grüne Fläche werden von den Stellen begrenzt, wo die beiden Graphen sich schneiden. Das heißt, um später die Integrationsgrenzen zu kennen, müssen wir erst mal die Schnittstellen von den Funktionen f und g ausrechnen. Dazu setzt man die Funktionen gleich, also x²-7x+13=-x²+5x-3. Wenn man das umformt, ist das eine quadratische Gleichung in x und die kann man dann so umformen, dass man die p-q-Formel anwenden kann. Und in diesem Fall kommt man dann auf die beiden Stellen x1=2 und x2=4, so wie ich das im Graphen schon ein bisschen suggeriert habe. Die große grüne Fläche dann wäre dann also ? von 2 bis 4 von (-x²+5x-3)dx. Den Betrag lasse ich hier erst mal weg, weil ich ja sehe, dass die Werte alle positiv sind. Die kleine grüne Fläche wäre ? von 2 bis 4 von(x²-7x+13)dx. Auch hier lasse ich die Beträge erst mal weg. Und was ich jetzt ausrechnen will, ist ja die Differenz. Und dann kann ich aber die Differenz der beiden Funktionen, also (-2x²+12x-16) in ein Integral schreiben, denn ich kann die Summenregel für Integrale anwenden und die Integrationsgrenzen sind ja gleich. Jetzt habe ich also hier im Prinzip die Differenz der beiden Funktionen stehen: g-f. Das kann man sich ganz gut vorstellen. Das ist immer dieser Abstand hier - die Verbindung von dem oberen Graphen zu dem unteren. So, jetzt will ich mal demonstrieren, wie man sich das vorstellen kann, was da in dem Integral steht. Und zwar, das hier ist die blaue Fläche. Die besteht aus ganz vielen senkrechten Strichen und jeder Strich ist immer die Differenz zwischen dem oberen Graphen und dem unteren. Und wenn ich jetzt jede einzelne Differenz nach unten schiebe auf die x-Achse, dann kriege ich genau die Funktion, die unten in dem Integral steht, und die Fläche ist ja die gleiche. Wir haben ja quasi minimal dünne Streifen nach unten geschoben, aber die Gesamtfläche ist die gleiche wie oben. Und unten steht eben das Integral von 2 bis 4 über genau diese Funktion. So, was ich eigentlich damit sagen wollte, ist, anstatt die Differenz der beiden Integrale zu berechnen, berechnet lieber das Integral der Differenz der Funktionen. Ihr müsst nämlich sonst 2 Integrale ausrechnen, das heißt zwei Stammfunktionen bestimmen, zweimal alles einsetzen und so weiter. Und so bestimmt ihr einmal am Anfang die Differenz und braucht dann nur eine Stammfunktion bestimmen, einmal einsetzen und es spart auf jeden Fall Zeit. Das Einzige, was ihr da beachten müsst, ist, dass die Differenz der Funktionen in dem Bereich, wo ihr integriert, wirklich immer positiv ist. Also die eine Funktion muss in dem ganzen Bereich größer sein als die andere. Und dann rechnet ihr eben die obere Funktion minus die untere und integriert das. Im Prinzip könntet ihr auch die untere minus die obere nehmen, dann würde genau die gleiche Fläche, aber mit einem Minus davon, rauskommen. Dann bräuchtet ihr halt nur noch einen Betrag außen um das Integral zu machen. So, um jetzt mal zurückzukommen, der 2. Schritt ist also: Integriere g(x)-f(x) zwischen den Schnittstellen. So, das machen wir jetzt. Unsere Stammfunktion ist [-2/3x³+6x²-16x] in den Grenzen von 2 bis 4. Dann setzen wir also ein -2/3×4³+6×4²-16×4-(-2/3×2³+6×2²-16×2). Okay, und das ergibt dann 8/3 Flächeneinheiten. Und damit ist das Video zu Ende. Bis zum nächsten Mal!

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15 Kommentare
  1. Default

    Wow danke! Jetzt habe ich das ganze endlich mal verstanden!

    Von K Reitinger, vor etwa einem Jahr
  2. Default

    Ja, dankeschön. Jetzt habe ich es verstanden:)

    Von Isabell Bluemling, vor mehr als einem Jahr
  3. Bewerbungsfoto

    Hallo Isabell,

    ich nehme an, du meinst die Stelle 2:39:
    ∫(-x²+5x-3)dx - ∫(x²-7x+13)dx = ∫(-x²+5x-3-(x²-7x+13))dx
    Ich schreibe also die Differenz der beiden Funktionen in ein gemeinsames Integral. Man muss beachten, dass man um die zweite Funktion eine Klammer macht, da man die gesamte Funktion subtrahiert. Dann löst man die Minusklammer auf:
    ∫(-x²+5x-3-x²+7x-13)dx = ∫(-2x²+12x-16)dx.
    Ist es jetzt klarer? Viel Erfolg noch!

    Von Steve Taube, vor mehr als einem Jahr
  4. Default

    Hallo,
    Ich habe noch nicht ganz verstanden wie Sie die Differenz der beiden Integrale bestimmt haben. Könnten Sie mir das noch einmal kleinschrittig erläutern?

    Von Isabell Bluemling, vor mehr als einem Jahr
  5. Bewerbungsfoto

    Hallo Mehtap,

    falls du die Stelle 1:49 meinst, wo f(x) = g(x) gesetzt wird:
    x² - 7x + 13 = -x² + 5x - 3 | +x²
    2x² - 7x + 13 = 5x - 3 | -5x
    2x² - 12x + 13 = -3 | + 3
    2x² - 12x + 16 = 0

    Von Steve Taube, vor mehr als einem Jahr
  1. Default

    Also am Anfang ist total unverständlich wie du das auf die linke seite des terms bringst, vor allem wegen der Vorzeichen. Ich bitte um Erklärung

    Von Mehtap.Ela, vor mehr als einem Jahr
  2. Img 20141128 182045

    Ah okay, danke sehr! :)

    Von Florian K., vor fast 2 Jahren
  3. Bewerbungsfoto

    Hallo Florian,
    gute Frage. Wenn du von Anfang an eine Fläche berechnest, also so anfängst: A = |∫...dx|, dann MUSST du die Betragszeichen von Anfang an benutzen, da eine Fläche nur positiv sein kann, deine Gleichungskette sieht dann so aus:
    A = |∫ ... dx| = ... = | -9| = 9 und im Antwortsatz "Die Fläche beträgt 9 FE."
    Wenn du am Anfang "A = " weglässt, dann rechnest du "nur" das Integral aus (Integral ist nicht immer gleich Fläche), dann kannst du auch die Betragsstriche weglassen: ∫ ... dx = ... = -9. Dann müsstest du danach so etwas schreiben wie: "Die Fläche beträgt also | -9 | FE = 9 FE."
    Was du nicht schreiben darfst, ist -9 FE.

    Von Steve Taube, vor fast 2 Jahren
  4. Img 20141128 182045

    Hallo,
    das ist ein sehr gutes Video, welches mir ermöglicht hat, dieses Thema nachzuvollziehen.

    Ich habe eine Frage. Und zwar kommt bei der Übung bei mir -9 FE heraus. Ich habe dieses Ergebnis dann einfach in Betrag gesetzt, sodass 9 FE herauskommt, was ja das richtige Ergebnis ist.

    Frage ist: Kann man den Betrag beim Integrieren der beiden Funktionen weglassen und am Ende machen, also wenn man wie ich sein Ergebnis hat? Oder muss man schon während der Rechnung den Betrag mitführen?

    Von Florian K., vor fast 2 Jahren
  5. Bewerbungsfoto

    Hallo Katharinarings,
    die Schnittstelle 0 ist richtig, 6 stimmt nicht. Beim Gleichsetzen der Funktionen und Umstellen erhält man 2x² - 6x = 0 bzw. x(2x - 6) = 0. Vielleicht siehst du es jetzt...
    Viel Erfolg!

    Von Steve Taube, vor fast 2 Jahren
  6. Default

    Ich komme mit der Übungsaufgabe nicht klar..bei mir kommen da 36 FE als Ergebnis raus..Als Schnittstellen habe ich 0 und 6 raus bekommen..was mache ich falsch?

    Von Katharinarings, vor fast 2 Jahren
  7. Default

    super video ! :)

    Von Oliver Bednarek, vor mehr als 3 Jahren
  8. Love music wallpaper 15

    Ein wirklich tolles Video! Super erklärt, alles logisch und leicht nachvollziehbar. Danke schön

    Von Annchen1990, vor fast 4 Jahren
  9. Bewerbungsfoto

    Nein, es bedeutet, f(x)-g(x) muss GRÖSSER 0 sein, f(x)-g(x)>0.

    Von Steve Taube, vor fast 4 Jahren
  10. Default

    "Die Differenz muss positiv sein" meint also f(x)-g(x) muss ungleich 0 sein ?

    Von Janmoe, vor fast 4 Jahren
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