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Team Digital
Hypothesentest – Fehler erster und zweiter Art
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Grundlagen zum Thema Hypothesentest – Fehler erster und zweiter Art

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, den Fehler 1. Art (“Alpha-Fehler”) von dem Fehler 2. Art (“Beta-Fehler”) zu unterscheiden.

Zunächst lernst du, dass ein Fehler 1. Art immer dann vorliegt, wenn wir die Nullhypothese aufgrund einer Stichprobe verwerfen, obwohl sie eigentlich zutrifft. Anschließend erfährst du, dass ein Fehler 2. Art vorliegt, wenn wir die Nullhypothese beibehalten, obwohl sie nicht zutrifft.

Fehler 1. Art und Fehler 2. Art

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Hypothesentest, Nullhypothese, Alternativhypothese, Signifikanzniveau, Fehler 1. Art (“Alpha-Fehler”) und Fehler 2. Art (“Beta-Fehler”).

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits Hypothesentests kennen.

Transkript Hypothesentest – Fehler erster und zweiter Art

"Jeder macht mal Fehler." Den Spruch hast du sicherlich schonmal gehört. Gerade in der Mathematik gehören Fehler zum Lernprozess. Und manche Fehler sind sogar so wichtig, dass sie ihren eigenen Namen bekommen. In diesem Video schauen wir uns mal an, was man unter den "Fehlern erster und zweiter Art beim Hypothesentest" versteht. Wenn wir einen Hypothesentest durchführen, ist es das Ziel, eine klare Entscheidung zu fällen. Und zwar, ob wir die betrachtete Nullhypothese verwerfen oder beibehalten. Dafür führen wir eine "Stichprobe" durch und entscheiden anhand vorher festgelegter Kriterien, ob die Stichprobe zu der Nullhypothese PASST oder nicht. Zu der Grundidee von Hypothesentests ist uns bereits aufgefallen, dass diese mit einer gewissen "Irrtumswahrscheinlichkeit" einhergeht. Und genau hier liegt auch die Quelle für eine gewisse Fehleranfälligkeit. DAS schauen wir uns mal an einem konkreten Beispiel an. Ein bekanntes Medikament weist erfahrungsgemäß eine Wirksamkeit von achtzig Prozent auf. Ein neues, vielversprechendes Medikament soll eine höhere Wirksamkeit haben. Als Nullhypothese zum neuen Medikament wird für p ein Wert von maximal 0,8 angesetzt. Die Alternativhypothese, die ja das Augenmerk darauf legen soll, ob sich die Wirksamkeit verbessert hat, lautet, dass p GRÖẞER als 0,8 ist. Es wird eine Stichprobe mit dem Umfang "n gleich einhundert" durchgeführt. Das passende Histogramm mit p gleich 0,8 sieht dann SO aus. Als Signifikanzniveau werden fünf Prozent angesetzt, wodurch wir diesen Annahme- und diesen Ablehnungsbereich erhalten. Landet unsere Stichprobe im Annahmebereich, bleiben wir bei der Nullhypothese. Landet sie aber im ABLEHNUNGSbereich, gehen wir aufgrund der signifikanten Abweichung davon aus, dass die Nullhypothese NICHT zutrifft und verwerfen sie zu Gunsten der Alternativhypothese. Diese Entscheidung geht immer mit einer gewissen Irrtumswahrscheinlichkeit einher. Denn auch wenn ein Ergebnis im Ablehnungsbereich liegt, ist sein Zustandekommen ja unter der Voraussetzung, dass die Nullhypothese zutrifft, nicht unmöglich. Wenn das Medikament zum Beispiel bei achtundachtzig Testpersonen angeschlagen hat, gehen wir davon aus, dass die Wirksamkeit des neuen Medikaments größer ist als die des alten. Tatsächlich tritt dieses Ergebnis aber auch bei einer zugrundeliegenden Trefferwahrscheinlichkeit von "p gleich 0,8" mit einer Wahrscheinlichkeit von circa 1,3 Prozent ein. Es ist zwar unwahrscheinlich, aber es bleibt ein Restrisiko, eben die Irrtumswahrscheinlichkeit, dass wir das Ergebnis erhalten haben, OBWOHL die Nullhypothese zutrifft. In diesem Fall haben wir also im Vorhinein alles richtig gemacht, alles richtig berechnet und uns an die aufgestellte Entscheidungsregel gehalten und haben TROTZDEM einen Fehler begangen. Wenn das passiert, wir die Nullhypothese also verwerfen, obwohl sie in Wirklichkeit zutrifft, sprechen wir vom Fehler "erster Art", auch "Alpha-Fehler" genannt. Und wo es einen Fehler "erster Art" gibt, da gibt es auch einen Fehler "zweiter Art". Dieser tritt ein, wenn die Nullhypothese NICHT zutrifft, die Stichprobe aber zufälligerweise im Annahmebereich landet und die Nullhypothese daher fälschlicherweise angenommen wird. Der Fehler "zweiter Art" wird auch "Beta-Fehler" genannt. Die Irrtumswahrscheinlichkeit "Beta" gibt also unter der Voraussetzung, dass die Nullhypothese NICHT zutrifft, an, wie wahrscheinlich es zum fälschlichen Nicht-Ablehnen der Nullhypothese kommt. Hier gibt es aber einen entscheidenden Unterschied zur Irrtumswahrscheinlichkeit Alpha. Während wir Alpha konkret berechnen können, indem wir die Gesamtwahrscheinlichkeit des Ablehnungsbereiches bestimmen, ist die konkrete Berechnung von BETA nicht ohne Weiteres möglich. Da es sich bei der Irrtumswahrscheinlichkeit Beta um eine bedingte Wahrscheinlichkeit handelt, die voraussetzt, dass die Nullhypothese NICHT zutrifft, können wir die angegebene Trefferwahrscheinlichkeit p auch nicht als zugrundeliegenden Wert für unsere Berechnungen nutzen. Die Berechnung von Beta wäre also nur möglich, wenn wir die TATSÄCHLICHE Trefferwahrscheinlichkeit kennen würden. Was wir aber festhalten können, ist, dass die Größe des Ablehnungsbereiches einen direkten Einfluss auf die Fehlerwahrscheinlichkeiten erster und zweiter Art hat: Während die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit Alpha kleiner wird, wenn wir den Ablehnungsbereich verkleinern und die Nullhypothese tatsächlich zutrifft, wird die Irrtumswahrscheinlichkeit Beta, vorausgesetzt die Nullhypothese trifft nicht zu, dadurch größer. Oft kann die tatsächliche Wahrscheinlichkeit des Beta-Fehlers nicht berechnet werden, da die zugrundeliegende Trefferwahrscheinlichkeit p nicht bekannt ist. Eine Option, ihn möglichst klein zu halten, liegt darin, den Umfang der Stichprobe deutlich zu vergrößern. Aber auch ein großer Stichprobenumfang hat seine Nachteile, so ist er zum Beispiel in der Realität häufig mit hohen Kosten verbunden. Wie du siehst, haben Hypothesentests so ihre Tücken. Wir fassen nochmal auf einen Blick zusammen, was schiefgehen kann, und zwar selbst dann, wenn wir alles richtig machen. Bei Hypothesentests kann es zu zwei grundlegenden Fehlern kommen. Um diese schön kompakt in einer Tabelle zusammenfassen zu können, betrachten wir die Situation aus einer "allwissenden Perspektive", tun also so, als ob wir bereits wüssten, ob die Nullhypothese zutrifft oder nicht. Unter der Voraussetzung, dass die Nullhypothese zutrifft, können wir diese entweder annehmen, dann hat alles seine Richtigkeit, oder wir lehnen sie fälschlicherweise ab, da die Stichprobe zufälligerweise in den Ablehnungsbereich fällt. In diesem Fall begehen wir den Fehler "erster Art", den sogenannten "Alpha-Fehler". Trifft die Nullhypothese hingegen in Wirklichkeit nicht zu, begehen wir einen Fehler, wenn wir sie trotzdem beibehalten. Wir sprechen dann vom Fehler "zweiter Art" beziehungsweise dem "Beta-Fehler". Lehnen wir eine falsche Nullhypothese ab, ist die Welt hingegen in Ordnung und der Hypothesentest hat seinen Job gemacht. Fehler gehören also nicht nur zum Leben, sondern insbesondere auch zur Mathematik! Wichtig ist nur, dass wir uns ihnen bewusst sind!

Hypothesentest – Fehler erster und zweiter Art Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Hypothesentest – Fehler erster und zweiter Art kannst du es wiederholen und üben.
  • Verorte den Fehler erster und zweiter Art in der Tabelle.

    Tipps

    Setze ein Häkchen, wenn kein Fehler passiert.

    Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn die $H_0$ angenommen wird, obwohl $H_0$ nicht zutrifft.

    Lösung

    Bei einem Hypothesentest wird mit einer Entscheidungsregel über die Nullhypothese $H_0$ entschieden:
    Entweder wird $H_0$ angenommen oder $H_0$ wird (zugunsten der Alternativhypothese $H_1$) verworfen.

    Da nicht bekannt ist, ob die Nullhypothese zutrifft oder nicht, kann diese Entscheidung fehlerhaft sein:

    • Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn die Nullhypothese abgelehnt wird, obwohl sie zutrifft.
    • Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn die Nullhypothese angenommen wird, obwohl sie nicht zutrifft.
    • Kein Fehler liegt vor, wenn die $H_0$ angenommen wird und zutrifft oder wenn $H_0$ nicht zutrifft und abgelehnt wird.

  • Definiere die folgenden Begriffe.

    Tipps

    Ein Fehler erster Art wird auch $\alpha$-Fehler genannt.

    Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn $x \in A$, obwohl $H_0$ nicht zutrifft.

    Lösung

    Trifft $H_0$ zu und die Trefferzahl $x$ in der Stichprobe liegt im Annahmebereich $A$, so ist die Schlussfolgerung korrekt. Dasselbe gilt, wenn $H_0$ nicht zutrifft und $x$ im Ablehnungsbereich $ \overline A$ ist.

    Ist jedoch $x$ im Ablehnungsbereich $\overline A$, obwohl $H_0$ zutrifft, so ist die Schlussfolgerung aus dem Test falsch. Man spricht von einem Fehler 1. Art ($\alpha$-Fehler). Ist umgekehrt $x$ nicht im Annahmebereich $A$, obwohl $H_0$ nicht zutrifft, so liefert die Entscheidungsregel einen Fehler 2. Art ($\beta$-Fehler).

    Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art wird mit $\alpha$ bezeichnet, die für einen Fehler 2. Art mit $\beta$.
    Außerdem ist $P(\overline A)=\alpha$ und $P(A)=1-\alpha$. Für $\beta$ gibt es keine solche Formel, weil im Fall, dass $H_0$ nicht zutrifft, der korrekte Wert von $p$ unbekannt ist.

    Wir erhalten also folgende korrekte Zuordnung:

    • Wahrscheinlichkeit, dass $x \in \overline A$, obwohl $H_0$ zutrifft: Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$
    • Wahrscheinlichkeit, dass $x \in A$, obwohl $H_0$ nicht zutrifft: Irrtumswahrscheinlichkeit $\beta$
    • Nullhypothese wird verworfen, obwohl sie zutrifft: Fehler 1.Art
    • Nullhypothese wird beibehalten, obwohl sie falsch ist: Fehler 2. Art
  • Interpretiere das Testergebnis.

    Tipps

    Die Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$ ist höchstens so groß wie das Signifikanzniveau $S$.

    Um die Irrtumswahrscheinlichkeit $\beta$ zu berechnen, müssten wir die tatsächliche Trefferwahrscheinlichkeit $p$ kennen. Aber dieser Wert ist unbekannt, wenn ${p \neq 0,\!7}$ ist.

    Die Irrtumswahrscheinlichkeit $\beta$ kannst du verkleinern, indem du den Stichprobenumfang $n$ vergrößerst.

    Lösung

    Bei jedem Hypothesentest ist die Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$ des Fehlers erster Art höchstens so groß wie das Signifikanzniveau $S$. In unserem Test ist $S=5~\%$, also $\alpha \leq 5~\%$. Vergrößerst du den Annahmebereich $A$, so wird die Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$ kleiner. Änderst du den Annahmebereich zu $A=[0;65]$, so wird $A$ größer und $\alpha$ kleiner.

    $\,$

    Um die Irrtumswahrscheinlichkeit $\beta$ eines Fehlers 2. Art zu berechnen, müssten wir die tatsächliche Trefferwahrscheinlichkeit $p$ kennen. Bei einem Fehler 2. Art wissen wir aber nur, welchen Wert $p$ nicht annimmt, nämlich $p \neq 0,7$. Daher ist die Irrtumswahrscheinlichkeit $\beta$ unbekannt. Wir wissen aber: $\beta$ wird größer, wenn du den Ablehnungsbereich verkleinerst. Aus dem Histogramm kannst du ablesen: ${\overline A=[64;80]}$. Änderst du den Ablehnungsbereich zu ${\overline A = [66;80]}$, so wird $\overline A$ kleiner und $\beta$ größer.

    $\,$

    Erhöhst du den Stichprobenumfang von $n=80$ auf $n=100$, so verändern sich sowohl der Annahmebereich als auch der Ablehnungsbereich. Die Irrtumswahrscheinlichkeit $\beta$ wird dabei kleiner.

  • Ermittle die Art des Fehlers.

    Tipps

    Ist $k \geq 103$, so wird die Nullhypothese verworfen, auch wenn sie zutrifft.

    Wird die Nullhypothese angenommen, obwohl sie nicht zutrifft, so liegt ein Fehler 2. Art vor.

    Lösung

    Wir wissen, dass der Annahmebereich $A=[0;102]$ und und der Ablehnungsbereich $\overline A=[103;120]$ ist. Die Entscheidungsregel besagt also:

    • Ist $k \in [0;102]$, so wird $H_0$ angenommen.
    • Ist $k \in [103;120]$, so wird $H_0$ verworfen.

    Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn $k \in \overline A$, obwohl $H_0$ zutrifft. Bei einem Fehler 2. Art ist $k \in A$, obwohl $H_0$ nicht zutrifft. Wir erhalten also folgende Beurteilung:

    • Die Trefferzahl beträgt $k=80$ und $H_0$ trifft nicht zu: Fehler 2. Art
    • Die Trefferzahl beträgt $k=102$ und $H_0$ trifft zu:
    • Die Trefferzahl beträgt $k=103$ und $H_0$ trifft nicht zu:
    • Die Trefferzahl beträgt $k=111$ und $H_0$ trifft zu: Fehler 1. Art
  • Vervollständige die Abbildung zum Hypothesentest.

    Tipps

    Der Annahmebereich ist im Histogramm grün markiert.

    Das Signifikanzniveau wird als Prozentsatz angegeben.

    Die Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$ ist die Wahrscheinlichkeit des Ablehnungsbereiches.

    Lösung

    Ein Hypothesentest ist durch vier wichtige Größen bestimmt:

    • Das Signifikanzniveau $S$ wird vor der Durchführung des Tests festgelegt und bestimmt den Annahme- und den Ablehnungsbereich. In unserem Beispiel ist $S=5~\%$.
    • Der Annahmebereich $A$ besteht aus denjenigen Werten der Stichprobe, die zur Annahme der Nullhypothese führen. Im Histogramm ist der Annahmebereich $A$ grün dargestellt. In diesem Beispiel ist $A=[0;86]$.
    • Der Ablehnungsbereich $\overline A$ besteht aus denjenigen Werten der Stichprobe, bei denen wir die Nullhypothese verwerfen. Dieser Bereich wird rot dargestellt. Im Beispiel ist $\overline A=[87;100]$.
    • Die Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$ ist die Wahrscheinlichkeit des Ablehnungsbereiches, also $\alpha = P(\overline A)$. Der Test wird so eingerichtet, dass gilt: $\alpha \leq S$.

  • Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr sind oder nicht.

    Tipps

    Für die Irrtumswahrscheinlichkeit $\beta$ kann es keine einfache Formel geben.

    Der genaue Wert von $\alpha$ hängt nicht nur von $S$ ab, sondern auch von $n$ und $p$.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind korrekt:

    • „Die Irrtumswahrscheinlichkeit $\beta$ hängt von dem unbekannten Wert $p$ ab.”
    Denn wenn $H_0$ nicht zutrifft, ist der korrekte Wert von $p$ unbekannt. Von diesem Wert hängt aber die Irrtumswahrscheinlichkeit $\beta$ direkt ab.
    • „Die Irrtumswahrscheinlichkeit $\beta$ wird größer, wenn $\alpha$ kleiner wird.”
    Je kleiner der Ablehnungsbereich $\overline A$ ist, desto eher kann es passieren, dass die Nullhypothese angenommen wird, obwohl sie nicht zutrifft. Der Fehler 2. Art wird also wahrscheinlicher.


    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Die Irrtumswahrscheinlichkeit $\beta$ ist die Gegenwahrscheinlichkeit der Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$.”
    Die Irrtumswahrscheinlichkeit $\beta$ ist nicht durch eine einfache Formel berechenbar, denn sie hängt von dem Wert $p$ ab. Trifft aber $H_0$ nicht zu, so ist dieser Wert unbekannt.
    • „Um die Irrtumswahrscheinlichkeit $\beta$ berechnen zu können, wird nur der Wert $p$ aus der Nullhypothese benötigt.”
    Stattdessen wird der korrekte Wert von $p$ benötigt. Im Fall eines Fehlers 2. Art wissen wir aber nur, dass der Wert aus der Nullhypothese falsch ist. Den korrekten Wert kennen wir im Allgemeinen nicht.
    • „Wird der Stichprobenumfang $n$ erhöht, so wird automatisch die Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$ kleiner.”
    Die Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$ ist durch das Signifikanzniveau $S$ und den Stichprobenumfang $n$ festgelegt. Der Wert von $\alpha$ ändert sich kaum, wenn $n$ erhöht und $S$ festgehalten wird, er kann aber etwas größer oder kleiner werden.

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