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Transkript Extremwertaufgabe – Ziege

Hallo! Eine häufig gestellte Extremwertaufgabe ist die Aufgabe mit der Ziege und die geht ungefähr so, es gibt viele verschiedene Variationen davon, ich zeige eine: Wir haben hier einen Ziegenstall, ja, den zeichne ich jetzt nicht ein, und gucken da von oben drauf. Was du hier siehst, ist nur noch eine Außenmauer, von oben, dieses Ziegenstalls. Wir möchten an diesen Ziegenstall angrenzend ein Freigehege für die Ziege anlegen, und zwar indem wir 100 m Zaun hier rechteckig um diese Wand herumlegen oder an diese Wand dranlegen, ja, ist egal, du weißt, was ich meine. Wir möchten hier 2 Pflöcke einschlagen und dann entsteht eben ein Rechteck und die Gesamtlänge hier ist dann 100 m des Zauns und da, wo die Wand ist, da verwenden wir natürlich keinen Zaun. Die Frage ist jetzt, wo müssten wir die Pflöcke einschlagen bzw. wie lang sind dann hier jeweils die Seiten, damit die Ziege den größtmöglichen Platz hat? Ja, was kann man da machen? Wir brauchen zunächst mal eine Zielfunktion. Und um eine Zielfunktion zu bekommen, brauchen wir eine Variable, und ich nehme hier mal diese Seite als x. Das hilft oft, wenn man keine Idee hat, was könnte denn x sein, wenn man sich dann einfach für irgendwas entscheidet, ja, so viele Möglichkeiten hat man oft nicht. Ich hätte jetzt auch diese Seite hier als x nehmen können, aber, wie du siehst, es gibt nur 2 Möglichkeiten und so ist das auch häufig bei Extremwertaufgaben. Wenn du keine Idee hast, wie du weitermachen kannst, nimm einfach irgendwas als das x und probier mal aus, guck mal, was passiert. Gut, wenn wir hier das x haben, dann ist natürlich die Frage, wie lang ist dann diese Seite? Weil der gesamte Zaun die Länge 100 m hat, ist diese Seite hier 100 m -2×x. Ja, hier ist ja die Seite x und da auch noch mal, wenn wir die beiden von 100 m abziehen, dann ist der Rest hier diese Seite. Und da können wir auch gleich schon die Zielfunktion formulieren, nämlich: f(x)=x×(100-2x). So, die Nebenbedingung, die steht hier quasi schon drin, die Aufgabe ist so einfach, dass man die Nebenbedingung meistens gar nicht mehr so richtig formuliert, sondern einfach, ja, das so hinschreibt. Wie bin ich jetzt auf diese Zielfunktion gekommen? Die Zielfunktion muss ja - also, die Werte der Zielfunktion sollen die Größe beschreiben, die maximal oder minimal werden soll, hier also die Fläche des Rechtecks. Die Fläche rechnet man aus, indem man die eine Seite × die andere Seite rechnet, das habe ich hier gemacht: x×(100-2x), das sind ja die beiden Seiten. So, und da ist die Zielfunktion schon fertig. Wir müssen uns noch überlegen, wie groß ist der Definitionsbereich oder welchen Definitionsbereich haben wir? Klar, x muss > 0 sein, denn sonst haben wir keine Fläche, und x muss auch < 50 sein. Ja, da wird man sich fragen, warum 50? Warum nicht 100? Ja, x ist ja zweimal da. Wenn diese Seite hier sehr klein wird und so gegen 0 geht, dann wird x immer größer, aber dieses x wird auch größer und dann würde, wenn diese Seite bei 0 angekommen ist, quasi, dann würde also die Gesamtlänge auf diese beiden Seiten entfallen und dann sind eben beide jeweils 50 m lang. Deshalb muss x zwischen 0 und 50 sein. Ja, dann kann man hier mal anfangen mit den Ableitungen. Wir wissen ja, ein Extremum - nein, wir können noch nicht anfangen mit den Ableitungen! Entschuldigung. Ich muss erst mal hier diese Funktion noch ein bisschen umformulieren, denn wenn ich hier die Ableitung machen wollte, dann müsste ich ja mit Produktregel vorgehen, dann kriegt man immer 2 Summanden noch und das ist irgendwie doof. Und deshalb multipliziere ich das einfach mal aus: x×-2x=-2x2 und x×100=100x. So, und dann sieht das schon viel sympathischer aus und jetzt kann ich ableiten: -2×x2 leitet man ab mit Faktorregel, -2 bleibt stehen und der Exponent wird auch noch hier multipliziert, das heißt, wir haben dann -4 und x1 oder einfach nur x. Und die Ableitung von 100x=100. Ja, grade noch gemerkt. Die 2. Ableitung dieser Funktion ist: -4. Ja, ich hoffe, das mit den Ableitungen, das bringt dich jetzt nicht aus der Ruhe. Das erkläre ich jetzt in diesem Zusammenhang nicht alles, das hast du schon gemacht. Gut, und wir wissen ja, jetzt kommt eben dieser Satz, dass sich ein Extremum nur dort befinden kann, wo die 1. Ableitung =0 ist, deshalb müssen wir also hier -4x+100=0 setzen. Und da halte ich mich auch nicht lange mit auf. Wir rechnen +4x auf beiden Seiten und haben dann: 100=4x, teilen durch 4: x=25. Und dann müssen wir das x, also die 25, noch in die 2. Ableitung einsetzen. Die 2. Ableitung ist an jeder Stelle =-4, das ist < 0 und deshalb handelt es sich hier um ein Maximum, das ist jetzt die hinreichende Bedingung. Also 1. Ableitung =0 und an derselben Stelle ist die 2. Ableitung ? 0, hier also < 0, und deshalb ist es ein Maximum. Ja, und jetzt muss ich mich halt darum kümmern, wie lang ist die andere Seite? Nun, 100-2×25=50, die eine Seite ist also 25, die andere ist 50 m lang. Das sind die Abmessungen für die maximale Fläche des Ziegenfreigeheges. Was jetzt noch interessant ist, ist natürlich die Frage, wie viel Fläche hat die Ziege denn dann? Und das kann ich ausrechnen, indem ich hier f(25) ausrechne - und das ist: 25×50=1250. Ja, 5×25=125 und eine 0 dranhängen. Die Ziege hat dann also 1250 m² Auslauf. Damit ist die Aufgabe beendet und die Ziege wird sich hoffentlich freuen. Viel Spaß damit. Tschüss!

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5 Kommentare
  1. Default

    Kam fast genauso in der Klausur vor !
    Vielen Dank !

    Von Janmoe, vor etwa 3 Jahren
  2. Dog

    diese grade bildet mit dem koordinatensystem einen dreieck und in diesem dreieck liegt ein rechteck
    der punkt B befindet sich auf der y achse und a auf der x achse

    Von Crazy D., vor fast 6 Jahren
  3. Flyer wabnik

    Wo sollen denn die Punkte A und B liegen?

    Von Martin Wabnik, vor fast 6 Jahren
  4. Dog

    hi, ich habe auch eine aufgabe zu diesem thema und zwar folgende:
    Eine Gerade geht durch die Punkte S1(4|0) und S2(0|2,3). Für welchen Punkt P der Geraden g hat das Rechteck OAPB den größten Flächeninhalt?
    Berechne diesen Extremwert.

    Könnte mir jemand helfen diese Aufgabe zu lösen? Danke im Voraus!

    Von Crazy D., vor fast 6 Jahren
  5. Default

    Klausuraufgabe! Top! 5/5

    Von Deleted User 10224, vor mehr als 6 Jahren