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Transkript Extremwertaufgabe – Schachteln

Hallo, eine der am häufigsten vorkommenden Extremwertaufgaben, ist die mit der nach oben offenen Schachtel. Und die geht so: Man nimmt sich ein Blatt Papier, ein normales DIN A4 Blatt, und schneidet an allen Ecken ein Quadrat aus. Und das habe ich hier schon mal vorbereitet. Da ist an allen Ecken ein gleich großes Quadrat ausgeschnitten worden. Ich halte das so ein bisschen. Ja, es ist mit nicht ganz gelungen, so mit den gleich großen Quadraten, aber ich glaube du weißt was ich meine, so ungefähr müsste das dann aussehen. Also, an allen Ecken wird ein gleich großes Quadrat ausgeschnitten. Und dann kann man das, was übrig bleibt, hier, was da so übersteht, das kann man dann hochbiegen, falten und dann entsteht eine nach oben offene Schachtel. Ich hoffe, das ist gut erkennbar in der Kamera. Das ist die Schachtel und da kann man lustige Sachen rein legen. Die Extremwertaufgabe besteht jetzt darin, oder die Aufgabenstellung ist nun so, wie weit muss ich hier einschneiden, wie groß muss das Quadrat sein, damit die Schachtel, die dann entsteht, ein möglichst großes Volumen hat? Also, die Maße sind noch gegeben, meistens geht man von 20 cm und 30 cm aus, das ist bei dem DIN A4 Blatt nicht ganz der Fall, aber da gehe ich jetzt gar nicht weiter drauf ein, aber ziemlich exakt müsste das Blatt dann so aussehen. Wir gehen also von den einfachen Zahlen hier 30er Breite und 20er Höhe aus und fragen uns: Wie weit muss ich hier einschneiden, wie groß muss das Quadrat sein, damit die Schachtel, die entsteht, ein möglichst großes Volumen hat, einen möglichst großen Inhalt hat? Und das habe ich natürlich auch schon mal ein bisschen vorbereitet hier. Ich habe ein paar Schachteln dabei, so sehen sie aus hier. Tschaka, tschaka, tschaka, tschaka. Und die haben nicht ganz die Maße, nicht ganz exakt, aber fast genau diese Maße. Die Unterschiede sind so gering, dass du es gar nicht erkennen kannst, deshalb erwähne ich das auch gar nicht. Diese Schachteln können unterschiedliche Ausmaße haben. Wenn ich hier nur 1 cm einschneide (ja das Quadrat hier, was da ausgeschnitten wird, ganz klein mache, so klein), dann brauche ich nur 1 cm hochbiegen. Jetzt kriege ich es nicht mehr fest, ist egal. Oder hier 2 cm, 3 cm und du siehst, diese flache Schachtel hier, falls man da überhaupt von einer Schachtel sprechen kann, hat bestimmt nicht das maximale Volumen. Die hier auch nicht. Hier fängt es schon an interessant zu werden, hier habe ich 3 cm eingeschnitten, das heißt, die ist ein bisschen höher geworden. Hier 4 cm und 5, 6 und 7 cm. Und wir sehen auch, diese Schachtel hier, die ist so schmal, die hat bestimmt auch nicht das maximale Volumen. Glaube ich nicht. Das maximale Volumen wird sich wohl hier irgendwo befinden. Und was du hier erkennen solltest, ist halt, je weiter man einschneidet, desto schmaler wird die Schachtel. Das Volumen wird dann irgendwann wieder kleiner. Wenn man nur ein kleines bisschen einschneidet, dann ist die Schachtel kleiner, ganz flach und das Volumen ist auch nicht besonders groß. Also, hier ergibt sich jetzt die Frage: Wie weit muss man einschneiden, damit das Volumen maximal ist? Und der Trick an der ganzen Sache ist jetzt, dass wir das eben nicht ausprobieren, sondern dass wir das mit dem berechnen, was wir schon kennen, nämlich mit der Analysis. Wir können Extremstellen von Funktionen bestimmen und da wir das Wissen, können wir das auch damit behandeln. Wenn wir Folgendes hätten, wir müssten eine Funktion bekommen, die das Volumen einer Schachtel angibt. Und naja, da können wir uns erst mal überlegen, wie berechnet man denn das Volumen einer Schachtel? Das Volumen ist Länge a×Breite×Höhe. Und die Höhe ist das, was wir hier eingeschnitten haben. Denn wenn ich das hochklappe, dann ist die Schachtel so hoch, wie diese Strecke, die ich eingeschnitten habe. Also ist das die Höhe. Dann kann ich das schon mal so hinschreiben. Das c ersetze ich also durch das x. Das x ist unsere Variable, das kann man so festlegen. Die Strecke, die ich einschneide, soll x sein, warum nicht. Wenn also diese Höhe hier x ist, wie groß ist dann die Breite? Nun, da muss ich mir eben vorstellen, ich schneide hier x ein und hier auch x und das, was übrig bleibt, also das hier, das ist ja die Breite, die ursprüngliche Breite des Blattes - 2×x. Hier x, da x. Also ist die Breite, vorher war die Schachtel 20 breit und jetzt haben wir 2x eingeschnitten, diese Breite, die übrig bleibt, die dann also die Grundfläche ausmacht, ist ja nur noch 20-2x. Damit haben wir das b auch schon weg. Das a ist jetzt die Länge der Grundfläche, kann man das so sagen? Ist ja auch egal. Auf jeden Fall diese Strecke hier. Und da gilt eigentlich die Gleiche, nicht nur eigentlich, auch tatsächlich die Gleiche Überlegung wie vorher. Von hier bis da waren es, also sind es hier jetzt 30 cm, fast genau. Dann haben wir hier x eingeschnitten, da auch und das haben wir umgeklappt. Das heißt, die Grundfläche vermindert sich jetzt hier, die Länge der Grundfläche, um 2×x. Und das kann ich jetzt auch so aufschreiben. Also 30-2×x ist dann die Grundflächenlänge. Ja, und wenn man das jetzt alles multipliziert, dann bekommt man das Volumen. Und ich möchte jetzt einfach mal das durch f(x) ersetzen. Das ist unsere Funktion, die wir gesucht haben. Die muss auch nicht unbedingt Volumenfunktion heißen, sondern f(x) reicht auch. Und das mache ich auch deshalb, weil nämlich jetzt bei dir sich im Kopf ein Schalter umlegt. Und zwar denkst du dir alle Schachteln hier weg, die sind jetzt mal alle egal und du befindest dich jetzt im Reich der Funktionen, im Bereich der Analysis, im Bereich dessen, was du gelernt hast über Funktionen und deren Extremstellen. Wir haben jetzt abhängig von dem x hier, das Volumen der Schachtel stehen und jetzt müssen wir nur noch wissen, welches x müssen wir einsetzen, damit dieses Volumen hier, besonders groß wird. Und das ist nichts anderes als die Ermittlung des Hochpunktes, dieser Funktion. Und deshalb brauchst du ab jetzt nicht mehr die Schachteln, sondern du brauchst nur noch die Funktion. Und diese Funktion schreibt man, wenn man sie denn ableiten will usw., in Normalform auf und das ist 4x3. Ja, man muss einfach diese Klammern hier ausmultiplizieren, das mache ich jetzt nicht im Einzelnen vor. Sonst, wenn du da unsicher bist, kannst du noch mal zur Termumformung gucken. Wir haben also 4x3-100x2+600x, das ist der Funktionsterm. Und wir wissen, wenn wir jetzt von dieser Funktion den Hochpunkt ermitteln wollen, oder einfach die Extrempunkte (wir suchen nur den Hochpunkt, weil wir das maximale Volumen wollen), dann brauchen wir die Ableitungen. Also die 1. und die 2. Ableitung. Und das geht hier ganz stur nach Summenregel, Faktorregel, vor x3 steht der Faktor 4, der bleibt erhalten und Potenzregel, x3, x2 usw., kannst du mit der Potenzregel ableiten. Und ich kann das hier einfach mal hinschreiben, dann haben wir hier 12x2 (Ableitung des 1. Summanden) -200x+600, das ist also die 1. Ableitung. Und die 2. Ableitung passt hier noch hin und das ist 24x-200. Wir wissen, die hinreichende Bedingung für Extrema lautet: Die 1. Ableitung muss 0 sein, an einer solchen Stelle kann sich ein Extremum befinden und an dieser Stelle muss die 2. Ableitung ≠0 sein. Und wenn das der Fall ist, dann befindet sich da ein Extremum, und zwar an der Nullstelle der 1. Ableitung. Das heißt also, wir müssen zunächst mal hier die Nullstellen der 1. Ableitung ausrechnen. Und das macht man, indem man diesen Term der Ableitung=0 setzt. Das habe ich jetzt hiermit getan, das war keine besondere Schwierigkeit. Und du siehst sofort, es handelt sich hierbei um eine quadratische Gleichung. Das solltest du einfach so können, ohne weitere Erläuterung. Ich werde jetzt nicht den Ganzen, das ganze Zeug jetzt hier abspulen, mit erst durch 12 teilen und dann pq-Formel oder gleich Mitternachtsformel anwenden. Solltest du damit Schwierigkeiten haben, gucke dir Filme zu den quadratischen Gleichungen an, oder mach sonst was. Wie du das Wissen bekommst, weiß ich nicht. Auf jeden Fall, das sollte jetzt schon sitzen und dann muss ich das nicht mehr zeigen. Wir bekommen 2 Nullstellen. Ich werde mal ganz, ganz einfach hier runden. Eine Nullstelle ist bei ca. 12,7 und die andere Nullstelle hier, der 1. Ableitung, ist bei ca. 3,9. Ich runde deshalb so grob, ich könnte ja auf mehr Nachkommastellen runden, aber wenn wir hier dieses Papier haben und da was einschneiden, dann würde ich sagen, wenn ich dass jetzt hier, mit meiner Schere, einfach mache, mit dieser Schere, dann kann ich, naja, auf den mm genau schneiden. Wir messen das hier alles in cm, die 1. Nachkommastelle ist mm und auf den zehntel mm kann ich das nicht schneiden. Deshalb reicht es hier, diese Nullstellen so grob zu runden. Also, wir haben 2 Nullstellen der 1. Ableitung, wie wir sehen. Es handelt sich ja bei der Funktion, um eine Funktion 3. Grades, die wird eben normalerweise dann 2 Extrempunkte haben, einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt. Und wir interessieren uns nur für den Hochpunkt und müssen uns jetzt fragen, was davon könnte denn der Hochpunkt sein und was ist denn der Tiefpunkt? Wir sehen sofort bei 12,7, dass wir das nicht verwenden können. Denn, wenn ich mich frage, wie weit muss ich denn die Ecke einschneiden, um das maximal Volumen zu bekommen, dann fällt mir auf, das Blatt ist ja nur 20 cm breit. Ich kann ja nicht hier 12,7 cm einschneiden und da auch, dann ist nämlich das Blatt weg, dann habe ich keine Schachtel mehr. Also diesen Wert, den hier, können wir nicht verwenden. Ich vermute einfach mal, dass sich da der Tiefpunkt dieser Funktion befindet. Das ist mir jetzt aber auch weiter egal, weil ich diesen Wert hier, für diese Extremwertfunktion, sowieso nicht verwenden kann. Die andere Sache 3,9, 3,9 da gucke ich eben noch mal nach, da könnte sich etwas abspielen. Ich habe ja, als ich die Schachteln hier aufgebaut habe, gesagt: Hier ungefähr, da müsste das Volumen, das maximale Volumen sein, bei den Schachteln hier oder so, bei den Dreien. Und hier habe ich die 4 cm, 5 cm, 3 cm eingeschnitten, für das x. Also dass sieht sehr gut aus, aber um jetzt festzustellen, dass es sich wirklich um einen Hochpunkt handelt, muss ich diese 3,9 hier in die 2. Ableitung einsetzen und gucken ob diese ganze Sache dann ≠0 ist. Und das würde ich sagen, kannst du im Kopf eben abschätzen. Wenn man hier für x 3,9 einsetzt, dann würde ich mal sagen, das ist fast 4, 24 ist fast 25, also 25×4=100, 100-200, das ist negativ. Außerdem stehen hier kleinere Zahlen, nämlich nicht 254 sonder 24 und x ist auch nicht 4, sondern 3,9 ca. und deshalb ist also dieser Term hier -200 auf jeden Fall negativ. Und deshalb können wir hier sicher sein, dass sich dort der Hochpunkt befindet. Wenn nämlich die 2. Ableitung negativ ist, dann befindet sich an der Nullstelle der 1. Ableitung, der Hochpunkt. So, jetzt will ich natürlich noch wissen, welches Volumen hat dann die Schachtel? Das war jetzt zwar ganz so exakt nicht gefragt, aber der vollständigkeitshalber rechnet man das natürlich aus. Meistens wird dann auch noch im Anschluss gefragt, bestimmen sie das Volumen der maximalen Schachtel oder so was. Also, was kann man da machen? Man setzt einfach 3,9, oder vielleicht den exakteren Wert, in die Funktion f ein, in die Ausgangsfunktion und erhält dann, hier wieder ungefähr geschrieben, 1056. Ja auch das ausrechnen, naja, das muss ich glaube ich nicht alles im Einzelnen vorrechnen. Du würdest es so wie so in den Taschenrechner eintippen. Würde ich übrigens auch, jetzt wenn da, das rechne ich auch nicht im Kopf aus. Nur die Frage ist, kommt das ungefähr hin? Das müssen wir uns jetzt noch überlegen. 1056, was bedeutet das? Wir haben hier alle Angaben in cm gemacht. Das x ist in cm und wenn wir dann x3 haben, dann sind das cm3, also Kubikzentimeter und das ist eine Volumeneinheit. 1056 cm3, das ist ein bisschen mehr als 1 l und 1 l hat ja 1000 cm3. Und wenn man schon mal die Schachteln hier hat, ich nehme mal die, mit dem Einschnitt 4 cm, die sieht ja fast so aus, wie das, was wir hier ausgerechnet haben. Dann müsste hier jetzt 1 l rein passen. Diese Schachtel, wie gesagt, ist etwas kleiner, als die Maße hier. Aber wenn man das mal mit einer Milchtüte vergleicht oder so, würde ich sagen, das kommt ungefähr hin. 1 l kann da durchaus reinpassen. Eine Milchtüte ist etwas kleiner, die Grundfläche, also quasi die Seitenfläche ist ein bisschen kleiner, normalerweise. Sie ist auch ein bisschen dicker, aber dann kommt das ungefähr hin. Also auch das Abschätzen hat hier funktioniert. Ja, und damit ist dann die Aufgabe erledigt. Das wollte ich hier nicht so hässlich stehen lassen. Wir wissen, wie Weit wir einschneiden müssen, um das maximale Volumen zu bekommen. Viel Spaß damit, tschüss.

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10 Kommentare
  1. Felix

    @ Lillygehrmann: Es wird ja nicht das Maximum der Funktion mit dem Funktionsterm 12x²-200x+600 sondern der Funktion f(x)=4x³-100x²+600x bestimmt. Als Ansatz wird die Ableitungsfunktion f'(x)=12x²-200x+600 auf Null gesetzt.Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Bei weiteren Fragen hilft dir auch gerne der Hausaufgaben-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Martin Buettner, vor 5 Monaten
  2. Default

    Ist nicht der Scheitel der Funktion 12x²-200x+600 der maximale Wert?
    Der Scheitel der Funktion ist bei 8,33 und beim Einsetzen in die Ausgangsfunktion kommt 1296.8 als Maximalwert raus.

    Von Lillygehrmann, vor 5 Monaten
  3. Img 20151011 002133

    Haha :) "...und da kann man lustige Sachen reinlegen."
    Du bist der lustigste Lehrer, bei dem man den Sinn in den Aufgaben sieht also was das einem bringt im leben und es ist alles immer super erklärt.
    Danke

    Von Juliane G., vor fast 2 Jahren
  4. Default

    gut erklärt.Danke!

    Von H Kunkel, vor fast 2 Jahren
  5. Giuliano test

    @S Kohler Dibl:
    Hallo Sabrina,
    du musst hier die Klammern auflösen:
    (30-2x)*(20-2x)*x
    = [30*20+30*(-2x)+(-2x)*20+(-2x)*(-2x)]*x
    = [600-60x-40x+4x²]*x
    = [600-100x+4x²]*x
    = 600x-100x²+4x³
    = 4x³-100x²+600x
    Ich hoffe, dass ich helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 2 Jahren
  1. Default

    wie komme ich auf die 100 x² ?
    Sabrina

    Von S Kohler Dibl, vor mehr als 2 Jahren
  2. Default

    Aha Extremwertaufgabe (schachtel falten)

    Von Zottelmotte, vor fast 5 Jahren
  3. Default

    Tschakka Tschakka Tschakka :D

    Von Deleted User 12886, vor mehr als 5 Jahren
  4. Default

    :-D

    Von Sergiyp, vor mehr als 5 Jahren
  5. Adolf

    da kann man lustige Sachen reinlegen ! jeeah

    Von U Andi, vor fast 6 Jahren
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