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Transkript Extremwertaufgabe – Rechteck mit minimalem Umfang

Hallo. Eine häufig gestellte Aufgabe ist die Aufgabe mit dem Rechteck und dem gegebenen Flächeninhalt. Und dazu ist ein Rechteck zu suchen, das einen minimalen Umfang hat. Deshalb male ich hier ein Rechteck auf, als Skizze. a und b heißen die beiden Seiten und wir nehmen mal an, dieses Rechteck hat einen gegebenen Flächeninhalt von 10cm2. Und Aufgabe ist jetzt, das Rechteck zu suchen, das bei diesem Flächeninhalt einen minimalen Umfang hat. Nun, da es sich um eine Extremwertaufgabe handelt, wissen wir direkt, wir brauchen eine Zielfunktion. Die Funktionswerte der Zielfunktion beschreiben die Größe, die maximal oder minimal werden soll. Da es hier um den Umfang geht, schreibe ich zunächst die Umfangsformel eines Rechtecks auf, das ist 2×a+2×b. und das ist fast unsere Zielfunktion, das ist ja noch keine Funktion, sondern bisher nur eine Formel. Wir haben ja hier noch zwei Variablen stehen, das ist nicht gut, deshalb müssen wir auch die Nebenbedingung verwenden. Die Nebenbedingung ist, nicht, dass es sich um irgendein Rechteck handelt, sondern um ein Rechteck mit dem Flächeninhalt 100m2, deshalb können wir hier schreiben 100=a×b, das ist die Nebenbedingung. Diese Nebenbedingung können wir jetzt zu einer Variablen hin auflösen und dann die Variable hier ersetzen und dann bekommen wir eine Funktion mit einer Variablen. Ich möchte hier mal nach a auflösen, dazu muss ich durch b teilen. Also 100/b=a. Und dann kann ich hier statt a 100/b schreiben und wir erhalten dann eine vernünftige Funktion, die hängt von b ab. Ich ersetze a durch 100/b, die 2 nehme ich auch mit, dann habe ich hier 200/b + 2b, das ist der Funktionsterm, das ist unsere Zielfunktion und da müssen wir jetzt unser Wissen der Differenzialrechnung abfahren. Zunächst mal ist die Frage nach dem Definitionsbereich, sollte man nicht vergessen. Definitionsbereich ist hier R+, warum, das habe ich mir so überlegt: b ist ja eine Länge, b muss also größer als 0 sein. Nächste Frage: Gibt es eine obere Grenze für b? Nein, denn wenn man das Rechteck sehr sehr breit macht und a sehr klein ist, dann hat es immer noch eine Fläche von 100cm2, das ist durchaus möglich. Dann wird es zwar nicht den minimalen Umfang haben, wenn b sehr groß ist, aber möglich in dieser Funktion ist es auf jeden Fall und deshalb ist also R+, also alle positiven reellen Zahlen hier der richtige Definitionsbereich. Dann geht es los mit den Ableitungen, wir wissen ja, ein Extremum kann sich nur dort befinden, wo die erste Ableitung=0 ist. Und da kümmere ich mich jetzt um die 200, das ist ein Faktor, der bleibt einfach stehen. Ich habe hier 1/b noch, also b im Nenner, das ist b^-1. b^-1, abgeleitet nach Potenzregeln ist -b^-2, das Minuszeichen vor dem b schreibe ich hier vor die 200 und b^-2 kommt hierhin. Und die Ableitung von 2b fehlt noch, das ist einfach 2. Die 2. Ableitung darf auch noch direkt hingeschrieben werden. Die 2. Ableitung U''(b) ist dann -200×-2, ist plus 400 ×, nach Potenzregel, b^-3. Die Ableitung von 2 ist 0, die brauche ich nicht mehr hinschreiben. So, dann können wir die erste Ableitung hier gleich 0 setzen und mal gucken, wo wir da ein Extremum bekommen könnten. Also: -200×b^-2+2=0. Und was machen wir da? Wir teilen durch 2 und multiplizieren mit b2. Wenn man durch 2 teilt, steht hier -100×b^-2+1. Das schreibe ich nicht noch mal extra hin. Und wenn wir dann mit b2 multiplizieren, dann kürzt sich b^-2 und b2 zu 1 weg, wie man so sagt. Es kürzt sich zu 1. Aber hier die 2 muss auch noch mit dem b ^2 multipliziert werden und wenn man 0 mit b2 multipliziert, bleibt das einfach 0. Und jetzt habe ich vergessen, dass ich vorhin schon durch 2 geteilt habe und deshalb steht hier 100 und einfach nur b2. Ja, Quasseln und Denken gleichzeitig, das ist immer so eine Sache. So, aber so stimmt es jetzt und das Minuszeichen muss auch noch da sein, sonst stimmt es nicht. Jetzt ist es aber richtig. Jetzt kann ich noch + 100 rechnen auf beiden Seiten und die Wurzel ziehen. Da wir sowieso schon festgelegt haben, wir haben nur positive Werte als Definitionsbereich, interessiert mich nur der positive Wert der Wurzel. Wenn ich plus 100 rechne auf beiden Seiten, steht hier die 100. Die Wurzel aus 100 ist 10 und wie gesagt, nur der positive Wert ist interessant, den anderen lass ich einfach weg. Ich weiß nicht, ob Du das so machen darfst, formal gesehen ist es vielleicht ein bisschen lässig gemacht, aber ich lasse das mal so stehen. Wir müssen gucken, was wir jetzt erreicht haben, indem wir den Wert 10 in die zweite Ableitung einsetzen. U''(10)=400×10^-3 10^-3 ist /1000. 400/1000 ist 4/10 und das ist 0,4. Und das ist > 0 und weil das größer als 0 ist, können wir sicher sein, dass es sich hier an der Stelle b=10 um ein Minimum handelt. Nun müssen wir noch a bestimmen, das ist so einfach, dass ich es nicht mehr hinschreibe. Hier haben wir ja schon den Term stehen. 100/b=a, also 100/10=10, deshalb ist a gleich 10. Das bedeutet also, a und b müssen gleich 10 sein, dann erhalten wir das Rechteck mit dem geringsten Umfang bei der gegebenen Fläche von 100cm2. Weil es immer wieder vorkommt, sage ich es noch mal: Ein Quadrat ist auch ein Rechteck, ein Quadrat ist ein spezielles Rechteck, weil ich immer wieder höre, dass dann Schüler sagen, "jetzt ist es aber ein Quadrat und kein Rechteck mehr." Doch, jedes Quadrat ist ein Rechteck, ein Quadrat ist eben einfach nur ein spezielles Rechteck, nämlich ein Rechteck mit gleich langen Seiten. Ja, das wussten wir eigentlich auch schon vorher aus unserer Erfahrung mit der Geometrie, dass das Quadrat dieses Rechteck ist, das den geringsten Umfang bei einer bestimmten Fläche hat. Aber nun haben wir das auch nachgewiesen mithilfe der Differenzialrechnung und jetzt können wir noch überzeugter sein, dass das richtig ist. Dann viel Spaß damit. Tschüss

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4 Kommentare
  1. Default

    Sehr gut erklärt jetzt habe ich das auch verstanden.

    Von Lucas Breiding, vor etwa einem Jahr
  2. Default

    sehr gut erklärt, nur schade dass das video bei 5:09 aufhört!

    Von Niko Wicker, vor etwa 3 Jahren
  3. 130772576018 1

    Sie sind sehr sympathisch :)

    Von Kevin Wojcik, vor fast 4 Jahren
  4. Default

    Warum fällt bei
    -200a^-2 +2 = 0
    die 2 weg wenn ich durch 2 teile? Das sind dann doch immer noch +1.
    Oder habe ich da jetzt was falsch verstanden?

    Von Meinereiner, vor etwa 4 Jahren