Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Extremwertaufgabe – Fußballplatz

Hallo! Hier habe ich mal eine Extremwertaufgabe vorbereitet, die in vielen Schulbüchern steht, die aber bezüglich der Interpretation der Ergebnisse aber doch recht interessant ist. Also, das hier soll ein Grundriss sein, ein Grundriss eines Spielfeldes, eines Fußballplatzes mit 400m-Bahn drum herum. Ich glaube, so was kennst du ungefähr und die Maße des Fußballplatzes sollen jetzt so gewählt werden, dass das Spielfeld möglichst groß ist, dass es also eine möglichst große Fläche hat. Natürlich nicht irgendwie groß, denn die 400m-Bahn soll ja doch drum herum passen. Da wird sich mancher die Frage stellen, wieso hier Maße festlegen, ist das denn nicht festgelegt, wie groß ein Spielfeld zu sein hat? Nein. Ganz genau ist es nicht festgelegt, das Spielfeld, zumindest in Deutschland ist das so, muss zwischen 45 und 90 Meter breit sein und zwischen 90 und 120 Meter lang. Dazwischen ist alles erlaubt, also ganz genau festgelegt ist es tatsächlich nicht. International ist es noch etwas anders, aber das würde jetzt zu weit führen. Also, deshalb kann man hier wirklich auch mit den Maßen etwas variieren. Nun, da es sich um eine Extremwertaufgabe handelt, brauchen wir eine Zielfunktion, dazu müssen wir erst einmal ein paar Variablen einführen, hier tatsächlich nur 2. Denn wir wollen ja, dass die Fläche des Spielfeldes, das übrigens auch rechteckig sein muss, das ist auch festgelegt, wir wollen, dass die Fläche des Spielfeldes möglichst groß wird. Und die Fläche eines Rechtsecks rechnet man aus mit a×b, eine Seite mal die andere Seite. Daraus werden wir die Zielfunktion machen, das ist bisher jetzt so erst mal kein Problem. Das Problem fängt da an, wenn wir jetzt hier nur 1 Variable stehen haben wollen und da kommen wir dann auch zur Nebenbedingung, denn mithilfe der Nebenbedingung kann man dann eine Variable eliminieren, wie man so sagt, also eine Variable durch einen Term mit der anderen Variablen ersetzen. Die Nebenbedingung hier ist, dass die 400m-Bahn außen rum führen muss. D. h. der Umfang dieses ganzen Gebildes soll gleich 400m sein. Und jetzt können wir uns noch überlegen, wie man denn hier den Umfang eigentlich berechnet. Nun, wir haben hier 2 Halbkreise oder zumindest interpretieren wir das erst mal als Halbkreis, ich weiß nicht, ob ich das schon gesagt habe, aber so soll das verstanden werden. Es sollen hier 2 Halbkreise sein, dann müssen wir einmal den Kreisumfang hier berechnen von diesen beiden Halbkreisen und das macht man mit Durchmesser×π. Und dann haben wir noch 2 × b, also a×π+2b. Das ist der Umfang und das soll 400m sein. Ich schreib hier noch mal das Entsprichtzeichen hin, denn der Umfang ist nicht immer 400m eine solchen Gebildes, sondern nur hier in diesem Zusammenhang soll das der Fall sein.  Wenn wir diese Gleichung hier zu einer Variablen auflösen, dann können wir hier in unserer dann entstandenen Zielfunktion eine Variable ersetzen. Ich möchte mal nach b auflösen. Diese Gleichung hier nach b auflösen und dann erhält man 400-a×π/2. Ja ich glaub das muss ich nicht im Einzelnen vorrechnen, warum das hier der Fall ist. Mit diesem Wissen können wir jetzt eine Funktion aufstellen. Ich nenne die mal f jetzt. Könnte natürlich auch a schreiben, aber das möchte ich deshalb nicht, weil hier die Variable jetzt a heißen soll, dann müsste ich immer a von a sagen, das hört sich doof an. Also f(a)=a×, ja nicht b, sondern das, was ich hier für b ausgerechnet habe, nämlich 400-a×π/2. Und da schreibe ich das jetzt hier, ich teile das mal einzeln. Das ist 200-π/2×a, so könnte man das auch schreiben. Um das nun abzuleiten, naja, ich könnte es auch so ableiten, mit der Produktregel, mache ich aber nicht, ich multipliziere das aus, dann habe ich hier stehen -π/2×a2+200a. Das a ist ein bisschen klein geworden hier. Wir müssen noch den Definitionsbereich festlegen oder uns zumindest, da irgendwelche Gedanken zu machen, wie der Definitionsbereich sein kann. Also das a muss auf jeden Fall größer als 0 sein. Wenn das a=0 wäre, haben  wir kein Spielfeld mehr, das hat dann überhaupt keine Fläche und das a, also das a kann auch eine maximale Größe annehmen, nämlich dann, wenn das b=0 ist. D. h. wir hätten dann hier quasi nur einen Kreis vorliegen und dieser Kreis hätte dann einen Umfang von 400m. Und wenn der Umfang 400m ist, ist der Durchmesser 400/π und deshalb ist das hier auch die obere Grenze. So 400/π, hier darf ich mal einen Abteilungsstrich dazumachen, das ist unser Definitionsbereich und wir können natürlich immer uns überlegen, gibt es Randextrema und was macht die Funktion am Rand dieses Definitionsbereiches, da wird sie aber jeweils gleich 0 sein, das Spielfeld wird jedes Mal eine Fläche von 0 haben und da brauchen wir uns jetzt auch nicht weiter drum zu kümmern. Dann kann ich also ableiten. Wir suchen ja Extrema dieser Funktion und die notwendige Bedingung lautet, dass also die 1. Ableitung 0 sein muss. Die 1. Ableitung von -π/2×a2=-π×a und die Ableitung von 200a ist 200 und die 2. Ableitung hier ist dann einfach f´´(a)=-π. Für die hinreichende Bedingung brauchen wir ja die 2. Ableitung, da ist sie. Die ist übrigens kleiner als 0, weil -π kleiner 0 ist und deshalb, wenn wir hier ein Extremum herausfinden, dann wird es sich um ein Maximum handeln. Das Extremum ist auch schnell gefunden, denn wenn ich die 1. Ableitung hier gleich Null setze, ich brauche es glaube ich gar nicht mehr hinchreiben, dann steht da -π×a+200=0 und daraus folgt dann, wenn man jetzt -π×a auf die andere Seite bringt und durch π teilt, dass a=200/π ist, und das ist ungefähr 63,66 und dann noch irgendwas, was habe ich da vorbereitet 2 0 ungefähr. Und der Rest ist jetzt eigentlich schon trivial, wie man so schön sagt. Wir können noch b ausrechnen, wir müssen dann hier dieses Ergebnis hier für a einsetzen und man ahnt was passiert, dann steht hier 400-200/π×π, das ist also 400-200 weil π sich dann zu 1 kürzt, 200/2=100, dann ist also hier b=100. Man kann das noch ausrechnen, wie groß die Fläche ist, diese Zahl×100 und dann haben wir 6366,20 Quadratmeter, usw. Und jetzt ist also die Frage, wie kann man diese Ergebnisse interpretieren? Es hat sich in Deutschland zum Regelmaß für Fußballplätze herausgestellt, 68m×105. Unser Wert hier für a ist kleiner als 68, unser Wert für b ist kleiner als 105 und wir haben das ausgerechnet als Maximalmaße. Also wenn man das so modelliert, hat der Fußballplatz maximale Fläche und wenn man das jetzt mal mit den anderen Maßen, also 68×105 nachrechnet, dann kommen da 423,6m Umfang heraus. Man sagt hier der Durchmesser ist 68, ich setze hier einen Halbkreis dran, da einen Halbkreis und ich habe hier 2mal die Länge 105, dann kommt man zu einer größeren Länge als 400m, und die Frage ist jetzt, in der Interpretation der Ergebnisse: Wie kann es dann sein, dass wir Leichtathletikstadien haben, in denen sich ein Fußballplatz befindet und außen rum eine 400m-Bahn zu finden ist, obwohl der Fußballplatz nicht diese Maße hat? Ja, das ist deine Aufgabe, das mal vernünftig zu interpretieren und dann kann ich einfach nur sagen, viel Spaß damit, tschüss!

Informationen zum Video
3 Kommentare
  1. Default

    Oh, hab es ^^

    Von Catmas, vor mehr als 2 Jahren
  2. Default

    Hallo! Müsste a nicht 200/-pi sein?

    Von Catmas, vor mehr als 2 Jahren
  3. Dog

    Wie kommen Sie auf die erste und zweite Ableitung?

    Von Crazy D., vor fast 6 Jahren