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Transkript Extremwertaufgabe – Funktionenschar (1)

Hallo! Es gibt Extremwertaufgaben, die mit Funktionenscharen zu tun haben, und deshalb möchte ich eine solche Aufgabe hier mal vorstellen. Wir haben hier eine Funktionenschar. Diese heißt fk(x)=((4-k2)/k)×(x2-k2). Definitionsbereich für k ist 0<k<2, k darf aus den reellen Zahlen kommen. Es ist hier zu bestimmen, die maximale Fläche, die ein Graph dieser Funktionenschar mit der x-Achse einschließen kann. Diese und ähnliche Aufgaben sind mir schon öfter über den Weg gelaufen, also relativ typisch, wenn auch anspruchsvoll für eine Klausuraufgabe. Sie kommen aber häufiger mal vor, kommt auch in Büchern vor. Was macht man als Erstes? Man versucht erst mal, sich diese Funktionenschar hier vorzustellen, und da hab ich schon mal etwas vorbereitet. Wir wissen, dass es sich hier um Parabeln handelt und dass es auch Parabeln in Scheitelpunktform gibt, zumindest dass man die Funktionstherme so aufschreiben kann. Wenn man es so aufschreibt wie hier, haben wir den Scheitelpunkt bei d und e. Zum weiteren Vorgehen habe ich mal diese Sache hier ausmultipliziert, dann kann man manches besser sehen. Da steht hier unten. Ich mache das jetzt recht schnell, weil ich das in einem anderen Film schon gezeigt habe und mich da nicht komplett wiederholen möchte. Dann kann man sich hier die Parabeln, die herauskommen, auch ein bisschen vorstellen. Man sieht, sie sind alle nach oben geöffnet und schließen auch eine Fläche ein, und zwar zwischen Graph und x-Achse. Das ist also soweit okay. Was können wir jetzt machen? Wir brauchen eine Zielfunktion, wenn wir hier die Extremwertaufgabe haben. Wir brauchen eine Hauptbedingung und eine Nebenbedingung, und da sind wir im Moment noch weit von entfernt. Also, was kann man machen? Wir wissen, es geht um die Flächen zwischen Graph und x-Achse, das heißt wir werden wohl integrieren müssen. Das hab ich auch mal  hier vorbereitet. Um integrieren zu können, um die Fläche mithilfe der Integralrechnung berechnen zu können, brauchen wir zunächst eine Stammfunktion. Und das ist auch durchaus eine Art und Weise, wie du an solche Aufgaben herangehen kannst. Gerade wenn du dir am Anfang nicht komplett vorstellen kannst, wo wird denn die Sache hier hin laufen, kannst du dich einfach mal darauf stürzen: Was muss ich denn überhaupt machen? Du kannst dir die Frage stellen: Worum geht es hier grundsätzlich, was werden die Eckpfeiler sein, die ich hier brauche? Dann hast du ein gewisses Risiko, dass du hinterher vielleicht feststellst, dass du alles umsonst gerechnet hast und das komplett anders funktioniert, aber das ist eine Taktik, wie man mit solchen Aufgaben auch unter Zeitdruck weiterkommt. Also: Ich habe hier mal Stammfunktionen gebildet. Stammfunktionen von Funktionenscharen bildet man ganz normal, wie man Stammfunktionen bildet. Man betrachtet einfach die ks als Zahlen, und dann kann man sich das einfach machen. Wir haben hier eine ganz rationale Funktion, hier kann man integrieren, einmal mit der Faktorregel, der Faktor bleibt einfach stehen. Hier haben wir eine Potenzregel. Da das Gleiche, hier steht ja quasi eine Klammer drum und ×x0, das kann man dann wieder mit der Potenzregel integrieren. Und das kommt dann heraus. Das ist eine Stammfunktion, also Fk(x)=((4-k2)/3k)x3-(4k-k3)x. Dieses Minus-Zeichen kommt zustande, weil ich hier ja vorher die Klammer gesetzt habe, dann wird dieses Plus-Zeichen zum Minus-Zeichen. Diese 3 kommt zustande wegen x2, da muss ich ja 1/(2+1) rechnen, dann ist quasi 1/3 unter den Bruch gekommen. Wenn wir eine Stammfunktion haben, können wir das bestimmte Integral berechnen, und zwar dadurch, dass wir jetzt hier die Grenzen erst mal einsetzen und dann F(obere Grenze)-F(untere Grenze) berechnen. Hier fehlen noch die ks dran , fällt mir auf, Fk natürlich. Was sind die Grenzen? Wir haben ja unsere Vorstellung: wir wissen, die Parabeln gehen immer zweimal durch die x-Achse. Dann haben wir zwei zur y-Achse symmetrische Nullstellen. Das wissen wir deswegen, weil ja der Scheitelpunkt auf der y-Achse liegt. Das heißt, wir müssen jetzt einfach mal die Nullstellen dieser Parabelschar bestimmen. Und das geht folgendermaßen: Wir nehmen hier diesen Funktionsterm und setzen ihn =0. Da hab ich mal einen kleinen Trick gemacht, ich habe nämlich k hier ausgeklammert aus dem, was hier hinten steht. Dann kann man das vorne abschreiben und dann steht hinten quasi -(4-k2)k. Das habe ich =0 gesetzt, und jetzt passiert nämlich Folgendes: wenn wir das jetzt auf die andere Seite bringen, das heißt wir rechnen + dieses Ganze hier. Dann haben wir also das hier stehen. Da müssen wir noch mit k multiplizieren und durch 4-k2 teilen. Da wird man dann sehen, dass das hier = das hier, und das wird man dann kürzen können, diese beiden Summen. Man kann ja nicht aus Summen kürzen, sehr wohl aber mit Summen kürzen, wenn sie jeweils Faktoren sind, und das ist hier der Fall. Es bleibt also übrig x2=k2, und daraus folgt, dass x=+-k sein kann. Hier ist es ja oft nicht offensichtlich, x kann ja auch -k sein. Das muss man unbedingt berücksichtigen. Man vermeidet solche Fehler, indem man sich immer wieder überlegt: Was mache ich hier eigentlich? Ich löse hier zum Beispiel eine quadratische Gleichung und die hat in der Regel 2 Lösungen. Wenn man sich an dieses Schema hält, dann weiß man gleich, dass da 2 Lösungen herauskommen müssen, und die Gefahr, dass man hier x=k hinschreibt, ist damit gebannt. Die Nullstellen einer Funktion aus dieser Funktionenschar sind also bei +k und -k. Das bedeutet, wir haben jetzt hier auch unsere Integrationsgrenzen, nämlich -k und +k, und können das jetzt hier einsetzen, zuerst die obere Integrationsgrenze und dann die untere Integrationsgrenze. Und dann müssen wir das einfach abschreiben, für x jeweils k und -k einsetzen, und dann kommt da Folgendes heraus. Hier habe ich es noch einmal hingeschrieben: Wir berechnen das bestimmte Integral mit dem Hauptsatz und haben dann diesen Kladderadatsch hier. Der entsteht, wenn man für x jeweils k bzw. -k einsetzt. Diese beiden Zeilen sind das, die dann entstehen. Das lese ich jetzt nicht alles vor, was, glaube ich, eh selbstverständlich ist. Es ist auch keine besondere Schwierigkeit, man muss es halt nur einsetzen. Dann muss man unter der Berücksichtigung vieler Klammern und vieler Minus-Zeichen das Ganze umformen und man kommt dann zu (4/3)k4-(16/3)k2. Dieser Term kann man nun auffassen als Funktionsterm abhängig von k. Also die neue Funktionsvariable, wenn wir das jetzt als Funktionsterm sehen, ist dann k. Und wenn wir das als Funktion sehen, wissen wir, da es hier das bestimmte Integral ist, hat es etwas mit der Fläche zwischen Graph und x-Achse zu tun. Es ist nicht sofort die Fläche, sondern ist da ja noch ein kleiner Unterschied, aber es hat erstmal mit der Fläche zu tun. Deshalb habe ich aus diesem Term hier, wenn man ihn als Funktionsterm auffasst, eine Funktion gemacht und habe sie definiert als A(k). Wenn das bestimmte Integral einen Extremwert hat, dann hat die Fläche auch einen Extremwert, davon gehe ich jetzt mal aus in unserer Situation. Das bedeutet, das hier ist unsere Zielfunktion. Und dann müssen wir einfach das, was wir schon in unserer Differentialrechnung gemacht haben: Extremwerte bestimmen, Ableitungen machen etc. Das müssen wir einfach hier auf diese Funktionen anwenden und dann das, was wir herausgefunden haben im Sachzusammenhang interpretieren. Das möchte ich dann im zweiten Teil zeigen. Bis dahin und tschüss!

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