Extrema von Funktionen mit Nebenbedingung – Aufgabe 1 Teil 1

Hier ist eine Aufgabe zum Thema Extrem unter Nebenbedingungen und nicht so, dass wir da irgendwelche Funktionen wie f(g) haben, und da sollen wir unser Kochrezept durchziehen. Wir haben hier eine sogenannte Textaufgabe, dann wollen wir es mal gemeinsam lesen. Es ist ein Punkt vorgegeben, mit den Koordinaten (1, 1, ½) und uns ist eine Fläche vorgegeben im kartesischen Koordinatensystem, z=x^2+y^2. Die Frage ist ja natürlich welcher Punkt den gleichen Abstand zum vorgegebenen Punkt hat.
Die Aufgabenstellung ist schön geometrisch. Als erstes veranschauliche ich den Sachverhalt und dann wollen wir die geometrische Situation in die Sprache der Extrema mit Nebenbedingungen übersetzen. Als erstes wollen wir die Dinge veranschaulichen: Die Fläche ist z=x^2+y^2 und es wird oft vorkommen, dass wir irgendwelche Gleichungen veranschaulichen sollen.
Wenn man gar nicht weiß, was man tun soll, dann hilft es immer irgendeine Koordinate null zu setzen, dann bleiben 2 Koordinaten und diese kann man dann immer besser sehen, sozusagen. Noch besser, man kann einzelne Variablen nicht Nullsetzen sondern zu einer festen Zahl. Dann hat man wieder Gleichungen mit 2 Variablen mit denen man besser leben kann.
Hier will ich nicht viel rechnen, sondern werde dazu etwas sagen. Wenn wir in dieser Gleichung "z" festdenken, "z" ist eine feste Zahl, meinetwegen 1, dann bekommen wir offensichtlich die Gleichung einer Kreislinie mit dem Radius 1. Wenn z allgemein z0 ist und z positiv ist dann können wir so etwas machen, (\sqrt z0)^2. Also insgesamt, wenn wir z bei z0 fixieren, dann haben wir die Gleichung des Kreises mit dem Mittelpunkt im Ursprung und Radius =\sqrt z0. Unser fixierter Wert z0 entspricht dem Schnitt unseres Bildes durch eine Ebene, die parallel zu xy verlauft und die z-Achse bei z0 schneidet.
Bis jetzt haben wir folgendes ueberlegt: Wenn wir unsere Fläche mit gegebener Gleichung durch Ebenen schneiden, die parallel zur xz-Achse verlaufen, dann bekommen wir Kreise. Dies sind schon nuetzliche Informationen. Also wenn unsere Flaeche symetrisch zur z-Achse ist, bekommen wir Kreise. Das ist das eine, das andere ist der gleiche Trick, den ich eben schon erwähnt habe. Ich habe hier noch mal die Gleichung, jetzt halte ich unsere Ergebnis fest: Wir haben festgestellt, also Schnitte zu unserer Fläche, mit Ebenen, die parallel zur xy-Ebene verlaufen, sind immer Kreise.
Hier mache ich  einen Punkt. Das nächste ist, als ich die Gleichung angeschrieben habe, habe ich vorgeschlagen, dass wir eine Koordinate =0 setzen. Dadurch sehen wir besser, was da passiert. Ich setzte meinetwegen y=0. Wenn y=0 ist und die Koordinaten x und y beliebig sind, dann entspricht da der xz Ebene. Wenn y=0 ist dann wird aus der Gleichung z=x^2. In der xz-Ebene haben wir einfach nur Parabeln, denn z ist =x^2. Das ist die Parabel in der xz-Ebene, z ist =x^2.
Nun haben wir alle Informationen, die wir brauchen. In der xz-Ebene haben wir eine Parabel und im Schnitt, prallel zur xy-Ebene haben wir einen Kreis. Das heißt, unsere gesamte Fläche bekommen wir, Indem wir unsere Parabel um die z-Achse drehen. Die Spur, die die Parabel hinterlässt ist unsere Fläche.
Auf diese Weise haben wir unsere Fläche erkannt, ich zeichne diese besser. Das ist unsere Schale, diese ist unbeschränkt. Der abgerissene Rand bedeutet, dass die Schale sich unendlich nach oben fortsetzt. Diese liegt auf der xy-Ebene und ist symmetrisch gegenüber der z-Achse, hier ist irgendwo der Ursprung. Das ist unsere Fläche, z=xy^2. Unser Punkt hat nun Koordinaten (1, 1, ½). Hier ist Punkt (1, 1) in der xy-Ebene.
Der Punkt, den ich den Namen P gebe, der wird dann irgendwo hier liegen. Auf der Höhe ½ oberhalb des Punktes (1, 1) auf der xy-Ebene. Wir sehen, dass die Fragestellung schon sinnvoll ist. Es ist klar, dass es auf der Fläche irgendwo einen Punkt gibt, der den kleinsten Abstand zu Punkt P hat. Auf der Fläche gibt es aber beliebig weit entfernte Punkte vom Punkt P.
Die Frage wäre dann nicht sinnvoll, wenn wir fragen würden, "Welcher Punkt liegt am weitesten vom Punkt P. Die Fläche setzt sich ins unendlich fort und es gibt halt beliebig weit entfernte Punkte, aber geometrisch plausibel ist, dass es genau einen Punkt gibt, der am wenigsten entfernt ist. Gut, das wir uns die Fragestellung anschauen. Dann wollen wir das formalisieren. Wir wollen einerseits auf der Fläche bleiben und andererseits wollen wir den Punkt auf der Fläche, auf der wir sitzen, zum Punkt P minimieren.
Der Abstand zwischen einem Punkt xyz auf der Fläche und der Punkt P, beträgt... Das können wir berechnen. Jeder weiß, diese Formel aus Analysis 1 oder au der Schule lautet \sqrt aus dem Quadraten der Differenz der Koordinaten, also z minus ½. Wir sollen die xyz auf der Fläche so wählen, dass diese Wurzel minimal wird. Ich deute es so an, das strebt zum minimalen Wert an, es wird symbolisch angedeutet, wobei der Punkt xyz auch auf der Fläche bleiben muss.
Das heißt die Koordinaten xyz sind durch die Regulation verbunden, durch x^2+y^2=z. Der Punkt xyz bleibt auf der Fläche, da heißt, dass die Koordinaten durch diese Gleichung aneinander gekettet sind und die Wurzel minimal werden muss. Da ist die formale Fassung. Nun betrachten wir diese Fassung als Zielfunktion und die Gleichung der Fläche als Nebenbedingung, dann landen wir beim Thema Extrema mit Nebenbedingungen und dieses Problem wollen wir lösen.
Noch eine Bemerkung: Man weiß ja, dass man bei solchen Problemen ableiten muss. Deswegen ist es unpraktisch, wenn wir Wurzeln haben. Wir wissen, dass die Ableitung einer Wurzelfunktion hässlich ist. Man weiß ja, dass die Formel zum Ableiten einer Wurzelfunktion "½ \sqrt" ist, das ist noch akzeptabel, aber wenn das in eine Gleichung kommen soll, die man lösen soll, dann sieht es nicht gut aus, das macht die Situation schnell kompliziert. Deswegen werde ich die Aufgabe modifizieren. Weil die Wurzel positive Werte hat, kann man folgendes machen: man kann statt des echten Abstandes nur den Quadrat desAbstandes betrachten.
Wenn wir den Quadrat des Abstandes minimieren, dann minimiert sich auch der Abstand. Deswegen modifiziere ich unsere Formalisierung wiefolgt: Statt des Abstandes minimiere ich den Quadrat des Abstandes. Das bringt den formalen Vorteil, dass wir uns nicht mit Wurzeln herumschlagen sollen, was die Lösung einfacher macht. Das Quadrat des Abstandes zwischen Punkt xyz auf der Fläche und dem Punkt P beträgt das hier. Diesen Quadrat sollen wir unter dieser Nebenbedingung minimieren. Das ist ein Formalisierungsschritt, nun machen wir das mal. Die Zielfunktion f(x,y,z) hat die Form (x-1)^2+(y-1)^2+(z-½)^2 mit der Nebenbedingung in der Form g(x,y,z).
Wir sollten denken, dass die Nebenbedingungen normalerweise von der Form geben werden, dass irgendein Ausdruck +0 ist. Deswegen bringe ich in dieser Gleichung z auf die linke Seite. Das ist die Nebenbedingung: x^2+y^2-z. Nun sollen wir die Funktion f unter den gegebenen Nebenbedingungen minimieren. Dann machen wir das. Ich implementiere die Vorgehensweise, die ich im theoretischen Teil empfohlen habe.
Wir stellen die Lagrangefunktion auf. Die sieht so aus: Lagrangefunktion L(x,y,z), das sind die Variablen unseres Problems,und  + einen Lagrangefaktor einer Nebenbediung. Wir haben nur eine Nebenbedingung, deswegen haben wir nur einen Lagrangemultipikator. Die Lagrangefunktion hat die Form f(x,y,z)-λg(x,y,z). Das ist es völlig wurscht, ob ich hier plus λ oder minus λ schreibe, es ist völlig egal, das nimmt keinen Einfluss auf die Lösung.
Dann stellen wir das Gleichungssystem bezüglich der Lagrangefunktion und losesen aus. Die erste ableitende Lambdafunktion, das Ableiten nach x, nach y und nach z sollen =0 sein und dazu die Nebenbedingung erfüllt sein. Die Lösungen von diesem Geichungssystem werden uns dann die Kandidaten für Extrema unter Nebenbedingungen liefern.
Ich leite das Ding schnell ab, setzt euch die Funktionen ein und dann macht die Rechnung. (x-1)^2+(y-1)^2+(z-½)^2, da war die Zielfunktion minus λ(x^2+y^2-z). Dann berechne ich die Ableitungen und setzte sie =0 und bekomme folgendes: Ableitung nach x ist 2(x-1)-2λx=0, Ableitung nach y ist 2(y-1)-2λy=0, Ableitung nach z ist 2(z-½)+λz=0 und die Nebenbedingung bleibt einfach so x^2+y^2=z, ich hab z schon auf die andere Seite der Gleichung gebracht. Ich mache nun die naheliegenden Umformungen und es wird sich ergeben, was wir als nächstes machen sollen. Natürlich sollen wir in den ersten 2 Gleichungen 2 wegkürzen und ich schlage vor, dass ich Koeffizienten bei x sammele. Das ergibt (1-λ)x=1. Das Gleiche hat man dann in der 2. Gleichung, (1-λ)y=1 und bei der 3. Gleichung kann man folgendes machen, 2z-1+λ=0 und die 4. Gleichung bleibt stehen. Das ist das Gleichungssystem, dass wir lösen sollen und an dieser Stelle mache ich einen Punkt, denn die Fortsetzung gibt es im nächsten Teil.