Extrema bestimmen 03:15 min

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Transkript Extrema bestimmen

Hallo! Wenn wir Gewinnfunktion haben, dann könnte möglicherweise ein besonderer Punkt von Interesse sein, nämlich das Gewinnmaximum. Dieses bestimmen wir mit der 1. und mit der später auch folgenden 2. Ableitung der Gewinnfunktion. Die Nullstellen der 1. Ableitung sind die möglichen Extremstellen der Funktion, deshalb setzen wir die Ableitung gleich 0. Diese quadratische Gleichung hat diese beiden Lösungen. Die kleinere Nullstelle befindet sich außerhalb des ökonomischen Definitionsbereichs, nämlich im negativen Bereich der x-Achse, denn die \sqrt(37) ist größer, als 5. Die größere Nullstelle kommt für unser gesuchtes Gewinnmaximum infrage. Wenn die 2. Ableitung an dieser Stelle kleiner, als 0 ist, dann befindet sich an dieser Stelle ein Maximum. Die 2. Ableitung ist -x+5/2. Setzen wir die größere Nullstelle der 1. Ableitung, also ((5+\sqrt(37))/2) ein, erhalten wir diesen Term. Und weil 5+\sqrt(37) größer, als 5 ist und diese Zahl subtrahiert wird, ist der Wert der 2. Ableitung an dieser Stelle negativ. Damit ist ((5+\sqrt(37))/2) die gesuchte Stelle des Gewinnmaximums. Jetzt wollen wir natürlich auch noch wissen, wie hoch der Gewinn an diesem Punkt denn nun ist. Deshalb setzen wir ((5+\sqrt(37))/2) in die Ausgangsfunktion, also die Gewinnfunktion, ein und erhalten ungefähr 11,67 Geldeinheiten. Wie üblich wird der Gewinn nicht in EUR oder Dollar angegeben, sondern ganz allgemein in Geldeinheiten. Schauen wir uns dazu den Funktionsgraphen an. Diese Stelle auf der x-Achse heißt Gewinnmaximaleausbringungsmenge. Zu der Gewinnfunktion gibt es auch eine Preisabsatzfunktion, denn wir haben die Gewinnfunktion gebildet, indem wir Erlös minus Kosten gerechnet haben und den Erlös haben wir errechnet, indem wir den Stückpreis mit der Stückzahl multipliziert haben. Und der Stückpreis wiederum wird durch die Preisabsatzfunktion angegeben, diese lautet: p(x)=-5/4x+15. Und hier ist der Graph dazu und hier finden wir auch die Gewinnmaximaleausbringungsmenge wieder.  Der Funktionswert an dieser Stelle ist circa 8,07 und dieser Punkt auf dem Graph der Preisabsatzfunktion, also der Punkt, der als x-Koordinate, die Gewinnmaximalausbringungsmenge und als y-Koordinate die zugehörigen Funktionswerte der Preisabsatzfunktion hat, heißt Cournot'scher Punkt. Augustin Cournot war übrigens ein französischer Ökonom und ihm zu Ehren wurde dieser Punkt so genannt. 

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