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Transkript Exponentielles Wachstum – Zuwachs bestimmen

Also, wir haben einen Wachstumsprozess, einen exponentiellen Wachstumsprozess, der durch so eine Funktion bestehen wird. Die Fragestellung ist: Wann ist der Zuwachs zum ersten Mal größer als ein bestimmter Wert pro Zeiteinheit. Ist jetzt sehr abstrakt, wie kann man es konkreter machen? Wann kommen zum Beispiel mehr als 1000 Bakterien pro Zeiteinheit hinzu? Also es geht ja letzten Endes um zwei Zeitpunkte. Wir haben einen bestimmten Zeitpunkt, gucken dann von da aus eine Zeiteinheit weiter und in der Zeit ist etwas hinzugekommen, zum Beispiel mehr als 1000 Bakterien oder was auch immer. Und diese beiden Zeitpunkte die kann man ja so aufschreiben. Wir haben also ein t und wir haben ein t+1. Wenn also hier das t ist, eine Zeiteinheit weiter ist ja dann t+1, und wir wollen etwas wissen über die Funktionswerte. Wir sagen nämlich, dass da etwas hinzukommt. Das bedeutet, wir haben Funktionswerte und eine Differenz der beiden Funktionswerte. Und diese Differenz soll dann zum Beispiel tausend sein. Können wir das visualisieren mit einem Graphen? Machst du einen Graphen einer Exponentialfunktion? Weißt du, was mir spontan dazu einfallen würde? Sag, was fällt dir ein? Und zwar haben wir ein Video zusammen gemacht mit der Zeitspanne, da ist es ähnlich, nur, dass wir im Grunde ein festes Ergebnis haben. Das muss nicht eingeklammert sein.In dem Fall verläuft dann hier die y-Achse. Soll ich noch ein bisschen weiter zeichnen? Ja. Komm wir pfuschen jetzt ein bisschen. Und dann wäre hier die Spanne. Genau, und das soll 1000 sein. Diese Differenz der beiden Funktionswerte, und zwar von einem Zeitpunkt bis zum nächsten Zeitpunkt eine Zeiteinheit weiter. Und hier kann man das sehen. Wenn wir jetzt die ganze Sache nach rechts verschieben, dann wird die Exponentialfunktion immer steiler und dann wird pro Zeiteinheit mehr dazukommen. Wenn wir das Ganze weiter nach dahin verlagern, ich also diese Strecke hier nach da noch mal abtrage, von hier bis hier, dann sieht man hier kommt kaum was dazu, also das sind noch keine 1000 Einheiten, die dazu kommen. Die Frage ist halt nach dem Zeitpunkt bei dem die Differenz der Funktionswerte von hier bis eine Zeiteinheit weiter zum ersten mal einen bestimmten Betrag hat, also in diesem Fall 1000. Wenn man das weiß, dann ist man ja eigentlich fertig.Man ist zumindest auf der sicheren Seite. Ja, wieso sicher? Was macht man dann? Man kann ja jetzt erst mal wieder in unsere Ausgangsfunktion einsetzen. Also in den Funktionsterm einfach. Es ist ja c bekannt, e ist sowieso bekannt, weil das die Konstante ist oder eine Zahl. k ist auch bekannt und dann haben wir hier t+1. Ich setze dann diesen Term ein dafür, also c×ek×t. Das soll dann 1000 sein.Und das soll 1000 sein, genau. Und jetzt?In 90 % der Fälle ist es das Distributivgesetz. Man kann ausklammern, und zwar c×ek×t. Dann haben wir folgende Situation: c×ek×t(ek×1). Also das, was hier steht, ist ja ek×t×ek nach diesem Gesetz, dass man die Exponenten addieren kann, wenn man Potenzen gleicher Basis multipliziert. Hier also umgekehrt angewendet: Wenn Exponenten addiert werden, kann man die Potenz darstellen als Produkt zweier Potenzen. Also hier bleibt dann ek-1 übrig. Und da sind die 1000. Wir wollen das k alleine haben, durch c und durch das. 1000/c×(ek-1). Und obwohl wir das hier allgemein aufschreiben, ist das hier ist wieder eine ganz normale Zahl, da kann nichts passieren. Und jetzt könnten wir logarithmieren. Dann haben wir hier stehen k×t. Wenn man hier zur Basis e logarithmiert, dann erhält man k×t und auf der anderen Seite ln(1000/c×(ek-1)). Es ist wichtig, dass man hier das Minuszeichen in der richtigen Höhe schreibt, damit man weiß, ob -1 zu den Exponenten gehört oder nicht. So und dann teilt man durch k. Dann ist t=ln(1000/c×(ek-1))/k. Das heißt, wir haben jetzt hier wieder einfach was eingesetzt, die Idee die man brauchte, war hier. Wir haben einfach umgeformt und nach t aufgelöst und damit kann man das dann ausrechnen. Das ist oft der Fall bei exponentiellen Wachstumsprozessen, dass man eigentlich nur umformen muss.

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1 Kommentar
  1. Default

    Maestro Wabnik, es ist schon ein Phänomen: Wenn ich dich sehe, habe ich sofort beste Laune und fange innerlich und äußerlich an zu strahlen! Du bist nicht nur ein cooler Mathelehrer, sondern bestimmt auch ein rundherum toller Mensch!!!

    Von Green Spirit, vor etwa 4 Jahren