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Transkript Exponentielles Wachstum und Prozente

Hallo! Exponentielles Wachstum und Prozente, darauf möchte ich noch genauer eingehen, und zwar deshalb, weil es, wie man im Schulalltag so feststellt, eine Denkweise gibt, eine sehr störrische Denkweise, die außerordentlich stabil ist, die sich hält bei Schülern und die sehr umständlich ist, und ich möchte hier ganz ausführlich zeigen, wie man das besser machen kann. Es geht um Folgendes: Wenn man jetzt ein Kapital, zum Beispiel von 1000 Euro hat und möchte dies verzinsen, z. B. mit 2%, dann rechnen Schüler das manchmal so: Nehmen die 1000 Euro und rechnen dazu + 2% von 1000. 2% von 1000 rechnet man so aus, indem man 1000×0,02 rechnet. 0,02, das sind 2/100. Oft wird dann auch noch die Prozenttaste benutzt. Also % bedeutet Hundertstel. Das ist nichts anderes, 2/100 sind 2%. Hier, das ist die Dezimalzahl, die also 2/100 widerspiegelt. Und dann kommt man also auf einen Wert, mit Zwischenrechnung selbstverständlich, ich schreibe es einfach einmal hin:  1000 plus 2% von 1000, das sind 20. Und dann rechnet man also: 1000+20=1020. Wenn diese 1000 Euro noch einmal im zweiten Jahr verzinst werden, dann muss man die 1020 Euro mit 2% wieder verzinsen. Deshalb wird dann z. B. gerechnet: 1020: Das ist das Kapital, was erst einmal da ist. Dann muss man noch rechnen: 2% von 1020, wieder: 1020×0,02. 1020 plus 2% von 1020. 1% von 1020=10,20 Euro. 2%=20,40 Euro. Also: ... 20,4. Und man ist dann im Ganzen bei 1040,4. Wenn man das jetzt weiter machen wollte, ich sage einmal die nächsten 7 Jahre lang, dann hat man viel zu rechnen und das ist sehr umständlich. Es gibt eine ganz einfache Methode, wie man diese Rechnung zusammenfassen kann, nämlich mithilfe des Distributivgesetzes. Wir haben hier z. B. 1000×1 und hier haben wir 1000×0,02. Ich kann das Distributivgesetz anwenden, indem ich jetzt nämlich 1000 ausklammere und dann steht hier: (1+0,02). Das kann ich hier übrigens genauso machen mit dieser Rechnung. Ich kann hier auch hinschreiben: 1020=1020×1. Und dann hier das Distributivgesetz anwenden. Ich hoffe, es passt noch irgendwie hin, ich muss etwas eng schreiben. Wenn ich diese Rechnung zusammenfasse mit dem Distributivgesetz, steht da: 1020×(1+0,02). Ich glaube, ich brauche nicht erklären, dass: 1+0,02=1,02. Das ist hier so, das ist hier auch so. Und weil das so ist, kann ich also einfach rechnen: Wenn ich diese 1000 Euro verzinse im ersten Jahr, so das sind 1000 Euro, die verzinse ich mit 2 %, dann rechne ich also einfach ×1,02. Wenn dieses Kapital jetzt im zweiten Jahr verzinst wird, dann muss ich das Gesamte wieder mit 1,02 multiplizieren. Wenn das im dritten Jahr passiert, muss ich das gesamte Kapital wieder mit 1,02 multiplizieren und dann kriege ich direkt das Kapital nach dem dritten Jahr heraus. Und wenn ich das jetzt alles zusammenfassen möchte, dann steht da einfach: 1000×, ja, was habe ich denn gerechnet? ×1,02, ×1,02, ×1,02. Dafür gibt es einen Ausdruck: Potenzen, kennst du schon. Das ist also: 1000×1,023. Und wenn du das Kapital nach 30 Jahren ausrechnen möchtest, dann steht hier eben keine 3, sondern eine 30 und dann kannst du das auch direkt ausrechnen. Das würde ich auch mit dem Taschenrechner ausrechnen, das ist überhaupt kein Ding und dann ist man sofort fertig. Das ist die Rechnung, an die du dich gewöhnen solltest. Falls du diese hier mehr im Kopf hast, die kannst du wirklich ausschließen. Das ist die richtige Rechnung, die jetzt glücklich macht und die dich auch dazu bringt, dass du viel, viel schneller rechnen kannst - übrigens auch die Grundlage für Exponentialfunktionen, falls du das noch nicht gehabt hast: Das ist der Anfang davon. Viel Spaß, tschüss.

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1 Kommentar
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    Danke, dieses Video hat mir so geholfen. :)

    Von Rose 1998, vor mehr als 2 Jahren