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Transkript Exponentielles Wachstum feststellen

Hallo. Wie kannst Du feststellen, ob eine Größe expotenziell wächst, wie kannst Du feststellen, ob eine Größe expotenziell abnimmt, allgemein gesagt: Ob sich eine Größe expotenziell ändert. Das möchte ich an einem Beispiel vormachen. Wie du an der Deko erkennen kannst, es geht um Geld. Typische Größe, die sich expotenziell ändert, ist das Kapital. Wenn dieses Kapital nämlich verzinst wird und dann wieder Zinseszinsen da drauf kommen usw. Ich mache das vor. So einmal das Geld hier zur Seite. So, wir haben z. B. ein Kapital von, sag ich mal, ja nicht 0 Euro, sondern das ist das im Jahr 0, da haben wir 1000 Euro. Nur mal als Beispiel. Und es könnte jetzt sein, dass dieses Kapital verzinst wird und realistischer Zinssatz im Moment, das ändert sich ja laufend, ist im Moment 2 oder 3 %. Das ist schon gut. Auf dem Sparbuch gibt es im Moment viel weniger, egal. Also, wenn wir ein Kapital irgendwo liegen haben und das verzinst wird mit 2 %, dann haben wir am Ende des ersten Jahres, also nach dem ersten Verzinsen sag ich mal, nach einem Jahr haben wir dann 1020. Ja, das darf man ruhig im Kopf können, nicht. Wenn 2 % dazu kommen, 1 % von 1000 sind 10 Euro und 2 % von 1000 Euro sind 20 Euro. D. h., wir haben also von hier nach hier mit 1, 02 multipliziert. Dass man so Zinsen berechnet, sage ich jetzt nichts weiter dazu, das setze ich voraus, das du das kannst. Soll hier nicht weiter erklärt werden. Wen dieses Kapital erneut mit 2 % verzinst wird, muss man wieder dieses Kapital mal 1,02 rechnen. Das mache ich einfach mit dem Taschenrechner, ich mache mir die Sache einfach hier und rechne einfach mal 1,02 und heraus kommt 1040,4. Naja, das hätte man auch noch im Kopf machen können aber was soll es. 1040,4. Ja, wenn es um Geld geht, wenn es um Euro geht, schreibt man meistens noch die Null dahinter, also 1040 Euro und 40 Cent sind es. Ich lass das jetzt einfach so stehen. Im 3. Jahr machen wir Folgendes, wir müssen wieder den Betrag, nach dem 2. Jahr, nach der 2. Verzinsung, den müssen wir wieder mit 1,02 multiplizieren, das mache ich jetzt auch. Und das ist 1061,208, 1061,208 und so wird das jetzt hier immer länger. Natürlich müsste man das hier schon runden. Ganz konkret hättest du dann auf dem Konto 1061 Euro und 21 Cent, weil hier bei 08 natürlich aufgerundet wird aber das soll hier jetzt erst mal reichen. Das ist also das Kapital hier in Euro, und das sind die Jahre, das sind die Einheiten hier. So, wenn du das jetzt also vorgegeben hast, und du fragst dich, handelt es sich hier um ein expotenzielles Wachstum. Mal angenommen, du wüsstest jetzt nicht, wie diese Sachen hier zustande gekommen sind, dann kannst du also Folgendes machen. Du nimmst z. B. den Funktionswert bei 1, oder diesen Wert hier aus der Wertetabelle, den nimmt du, also den Wert bei 1 und teilst ihn durch den Wert bei 0. Was kommt raus? 1020/1000 = 1,02. Ist ja auch verständlich. Wir haben ja, wir sind ja zur 1020 gekommen, indem wir 1000 mal 1,02 gerechnet haben. Ja, das kennst du aus der Grundschule, wenn 3 x 5 = 15 ist, ja dann ist 15/5, nein, so rum, 15/3 = 5, ja. Das ist nix Besonderes, das wische ich auch wieder weg, sonst sieht das doch zu einfach aus. Also, wenn 1000 x 1,02 = 1020 ist, dann ist 1020/1000 = 1,02. So, jetzt wiederhole ich das aber nicht noch mal, das ist jetzt klar geworden glaube ich. Du kannst auch den Funktionswert, den Wert hier aus der Wertetabelle bei 2 nehmen. Der ist nämlich 1040, 4 und den durch 1020 teilen. Dann kommt auch 1,02 raus. Das geht genauso mit dem Wert bei 3, nämlich 1061,208. Das schreibe ich auch ganz hin, geteilt durch den Wert bei 2. Das ist also 1040,4. Da kommt auch jeweils 1,02 raus. Na, und wie heißt das Ganze? Das heißt Quotientengleichheit. Wir wissen wie expotenzielle Größen, also, wenn es sich um eine expotenzielle Größe handelt, dann unterscheidet sich, dann haben wir die Situation, dass gleiche Abstände, also das die Werte sich in gleichen Abständen immer um den gleichen Faktor unterscheidet. Hier sind die Abstände jeweils 1 Jahr, sie unterscheiden sich immer um den gleichen Faktor, nämlich um 1,02. Daraus folgt, das, wenn man hier diese Werte in gleichen Abständen durcheinander teilt, dann kriegen wir immer diesen Faktor raus, um den sie sich unterscheiden. Hier eben 1,02. Das ist die Quotientengleichheit. Übrigens nebenbei bemerkt, zur Allgemeinheit, wenn eine Größe wächst, ist dieser Faktor, der bei diesen Quotienten rauskommt, größer als 1. Wenn eine Größe fällt, ist der Faktor kleiner als 1.  Damit kannst du jetzt alle Wertetabellen untersuchen auf expotenzielles Wachstum. Viel Spaß, tschüss.

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1 Kommentar
  1. Default

    Sehr gutes Vidieo !!!!!!!!!!

    Von Briluwi, vor 8 Monaten