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Transkript Exponentielles oder lineares Wachstum – Wertetabelle (1)

Hallo, wenn Du Wachstum und Abnahme behandelst, Wachstum und Zerfall, oder wie immer das auch heißt, kann Dir eine typische Aufgabe entgegenkommen. Und zwar in so einer Wertetabelle. Das hier sind Messwerte zu bestimmten Zeitpunkten oder bestimmten räumlichen Punkten oder bei räumlichen Punkten. Ist egal und diese Werte wurden hier gemessen, deshalb Wertetabelle. Und es ist völlig egal, worauf sich diese Werte beziehen, Du sollst nur beurteilen, rein von der Wertetabelle her, handelt es sich um ein lineares Wachstum oder um eine lineare Abnahme. Bzw. handelt es sich um eine exponentielle Zunahme, ein exponentielles Wachstum oder um eine exponentielle Abnahme. Das was wächst und abnimmt, ist immer hier in der 2. Zeile, bzw. wenn das so ist, ist das von Dir aus gesehen, immer rechts geschrieben. Und das hier, von links nach rechts, nimmt sowieso immer zu. So notiert man das. Wenn das Zeitpunkte sind, notiert man die immer mit fortschreitender Zeit zum Beispiel. Es ist nicht die Frage, ob das hier wächst in der 1. Zeile, sondern was in der 2. Zeile passiert. Ob das exponentiell wächst oder abnimmt. Oder ob es linear wächst oder abnimmt. Nun, als erstes kannst Du Dir überlegen, nimmt das, was hier steht denn zu oder ab? Das darfst Du direkt sehen, diese Zahlen werden kleiner. Damit haben wir eine Abnahme. Ist diese Abnahme nun exponentiell oder linear? Wir wissen, wenn eine Abnahme linear ist, dann haben wir Differenzengleichheit, das heißt, wir könnten zum Beispiel: Wir könnten der Wert bei 4 nehmen und den bei 2 und die voneinander abziehen. Wir könnten auch den Wert bei 5 und bei 3 nehmen und die voneinander abziehen. Übrigens, es müssen keine benachbarten Werte sein. Ich habe jetzt extra hier 2 Werte genommen, die einen Abstand von 2 haben. Denn hier ist ja auch ein Abstand von 2. Und dann kann ich die Werte, die ich hier ausrechne mit einem Abstand von 2, mit den beiden Werten hier auch vergleichen. Die Abstände hier in der ersten Zeile müssen immer gleich sein. Da kann ich Differenzen bilder oder Koeffizienten. Und die kann ich vergleichen. Es würde nicht so viel bringen, wenn ich die Schritte mit dem Abstand 1 berücksichtigen würde. Dann hätte ich hier nämlich ein Problem. Das kann man auch beheben, aber wollte es jetzt zeigen mit zweier Abstand. Ich glaube, wir sind uns einig, das sieht man recht schnell, dass der Unterschied zwischen 1,66666 und 15 viel größer ist, als der zwischen 0,55555 und 5. Das kann keine Differenzengleichheit sein, aber wir können es mit der Quotientengleichheit probieren. Und das kannst Du mit Deinem Taschenrechner nachrechnen, ich möchte es hier für die ersten beiden Werte ohne Taschenrechner zeigen. Ich könnte also rechnen 1,66666÷15. Was bekommen wir da, wenn wir das mit Dezimalzahlen rechnen möchten? Ist ein wenig umständlich, finde ich. Ich weiß aber, 1,66666 das ist 1 2/3, im Ganzen sind das 5/3 Wenn ich also 5/3÷15, das darf man so wissen, das ist 1/9. Ein ganz normaler Doppelbruch, dass muss ich nicht noch mal erklären. Sonst kannst Du, wenn Du Schwierigkeiten hast, noch einmal bei der Bruchrechnung nachschauen. Da kommt schon mal 1/9 raus. Dann gehts gleich weiter mit dem Funktionswert hier, bei 5 und bei 3. Die kann ich auch noch teilen, dann hab ich 0,55555÷5, da sieht man den Wert eigentlich schon, den Quotientenwert. Wenn ich 5÷5=1. Wenn ich das für alle Nachkommastellen mache, kommt überall 1 raus. Das bedeutet also wir haben 0,11111. Das darf man ruhig wissen, das hatten wir oft genug in der Bruchrechnung. 0,11111=1/9. Dann würd ich mal sagen, Donnerwetter, hier kommt 1/9 raus und hier auch. Dann probier ich die beiden noch bei 7 und 5. 0,0617÷0,55555=0,111106. Aber bei 0,111106 bedeutet das, dass ein gerundeter Wert, es kommt ungefähr 1/9 raus. Und daran kann man sehen, dass hier wird auch ein gerundeter Wert gewesen sein, aber in dem Rahmen einer vernünftigen Messgenauigkeit kann man hier sagen, es handelt sich um eine exponentielle Abnahme. Denn wir haben Quotientengleichheit. Wir haben gleiche Abstände hier oben in der Zeile genommen, nämlich immer die Abstände von 2 und haben immer 1/9 rausbekommen. Und daher handelt es sich hier um eine exponentielle Abnahme. Nur als Hinweis nebenbei 1/9 ist kleiner als 1. Daher handelt es sich hier um eine Abnahme. Das es sich um eine Abnahme handelt haben wir sowieso schon gesehen. Aber allgemein gilt ja, wenn der Quotient größer ist als 1 ist es eine Zunahme, wenn der Quotient kleiner ist als 1 ist es eine Abnahme. Und das passt hier wunderbar. Viel Spaß damit, tschüss

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