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Transkript Exponentielle Wachstumsfunktionen – Uneigentliche Integrale (1)

Hallo! Da wir jetzt schon ausgerechnet haben, wie hoch der Kuchen nach 20 Minuten ist, nämlich 3,9 cm, könnte sich hier sinnvollerweise die Frage anschließen: Wie hoch wird denn der Kuchen überhaupt? So ähnlich ist es auch passiert, es hat sich nicht ganz angeschlossen bei der Abituraufgabe 2007 in Nordrhein-Westfalen, aber die Frage kam auf jeden Fall. Und ich möchte sie hier dann im Anschluss an diese Integralrechnung einmal präsentieren. Die Frage ist, wie hoch wird der Kuchen überhaupt? Mal angenommen, er bliebe unendlich lange im Ofen. Das tut er natürlich nicht, aber mal angenommen. Dann kannst du dir dazu, wenn du eine Vorstellung bekommen möchtest, dir wieder diese Funktion angucken. Du hast den Funktionsgraphen ja schon beschrieben, in einer früheren Aufgabe, hier in diesem Zusammenhang. Das war glaub ich irgendwas, Aufgabenpunkt weiß ich nicht mehr, ist egal, auf jeden Fall er ist schon beschrieben worden. Hier ist also gesagt worden, dass das Verhalten im Unendlichen für x gegen unendlich so aussieht, dass eben hier der Funktionsgraph gegen 0 geht. In unserem Fall bedeutet das, dass das Wachstum immer geringer wird, das Wachstum geht gegen 0. Und das ist auch ein realistisches Modell für einen Kuchen. Es gibt ja wahrscheinlich keinen Kuchen, der immer größer wird, je länger er im Ofen bleibt und dann gegen die Unendlichkeit strebt. Und deshalb ist das auch vernünftig, dass der Kuchen vielleicht hier, dass diese Funktion nicht wieder nach oben geht. 2 Sachen möchte ich dazu sagen. Zum einen könnte es sein, dass du in einer Abituraufgabe eine Funktion bekommst, die sich zum Beispiel mit so einem Kuchen beschäftigt, wo dann aber hier letzten Endes die Funktion wieder nach oben geht, was bedeuten würde, wenn man die Sache hier jetzt weiterspinnt, dass der Kuchen irgendwann ganz, ganz schnell wächst. Das ist hier nicht der Fall, aber so was könnte passieren. Dann darfst du aber irgendwo in der Aufgabenstellung die Frage erwarten, so ähnlich wie: Zeigen Sie, dass ab dem Punkt soundso auf der x-Achse, an der Stelle, also ab der Stelle soundso auf der x-Achse, der Funktionsgraph nicht mehr den realen Verlauf in diesem Sachzusammenhang angibt. Das darf man dann begründen und dann muss man das auch so begründen, so von wegen, dass der Kuchen dann irgendwann wieder plötzlich ganz schnell riesengroß wird. Das ist nicht zu erwarten und ist unrealistisch. Es kann durchaus sein, dass du eine Funktion bekommst, die nur in einem bestimmten Bereich den Sachzusammenhang abbildet, den Sachzusammenhang darstellt, den du da gerade behandelst und ab einem bestimmten Punkt, das eben nicht mehr tut. 2. Sache, die ich dazu sagen möchte, hier sieht man oder wir haben das auch schon argumentativ begründet, dass die Wachstumsgeschwindigkeit gegen 0 geht, mit fortlaufender Zeit. Das heißt aber nicht, dass wenn diese Funktion hier den realen Zusammenhang wiedergeben würde, das heißt dann nicht, dass der Kuchen irgendwann aufhört zu wachsen und nicht mehr größer wird. Es könnte trotzdem sein, dass der Kuchen immer größer wird. Natürlich könnte die Wachstumsgeschwindigkeit immer weiter abnehmen, aber trotzdem könnte er immer größer werden. Und letzten Endes, laut dieser Funktion dann, vielleicht gegen die Unendlichkeit streben, in seiner Höhe. Das wäre möglich, es wäre aber auch möglich, dass er über einen gewissen Punkt nicht hinauskommt. Und diese ganze Problematik solltest du besprochen haben in der Schule, im Zusammenhang mit uneigentlichen Integralen. Danach ist hier nämlich gefragt. Wenn gefragt wird: Wie hoch wird der Kuchen überhaupt? Die Frage also, wenn ich jetzt diese Zeitachse, diese andere obere Integrationsgrenze, die hier, die hier 20 war, wenn ich die immer weiter nach rechts verschiebe, bekomme ich dann ein Integral, das endlich ist, oder wird es unendlich? Und wenn es endlich wird, wenn da eine Zahl als Grenzwert rauskommt, wenn der Grenzwert existiert, wie groß ist er dann, natürlich, das will man dann wissen. Nur mal eben zur Erinnerung, wenn du die Funktion 1/x integrierst, ich darf das vielleicht noch mal eben aufmalen. Die Funktion 1/x sieht ja ungefähr so aus. Ich mach das mal eben schnell, so im Koordinatensystem, so und so. Ungefähr. Hier für große x-Werte geht die Funktion gegen 0. Ich hoffe ich hab das, ja ein bisschen, also du weißt, was ich meine. Die geht gegen 0, wenn ich aber das unbestimmte Integral, also das uneigentliche Integral, so heißt, es, das uneigentliche Integral bestimme und die Integrationsgrenze x immer größer werden lasse, vielleicht von 1 angefangen, macht nichts. Von 1 anfangen und die Integrationsgrenze, also untere Integrationsgrenze ist 1 und die obere wird immer weiter verschoben, dann geht das Integral gegen unendlich. Das uneigentliche Integral existiert nicht, das ist bei der Funktion 1/x so. Bei der Funktion 1/x², die dann ungefähr so aussieht. Schreib ich hier mal hin 1/x². Da existiert das uneigentliche Integral, ich könnte hier wieder bei 1 anfangen und auch bei einer anderen Zahl, ist egal. Und diese Funktion geht eben etwas schneller gegen 0, sodass also das uneigentliche Integral existiert. Beides kann also passieren. Und hier ist natürlich die Frage, was ist es in diesem Fall? Da ich hier die ganze Sache schon stehen habe, ich glaube das brauch ich jetzt nicht mehr, mach ich da auch direkt mal weiter. Es geht hier also darum, das Integral zu bestimmen, und zwar so, dass jetzt die Integrationsgrenze, die obere Integrationsgrenze immer weiter gegen +unendlich geht, also immer größer wird. Was ist dann dazu zu sagen? Wir würden also diese obere Integrationsgrenze hier einsetzen, nicht wahr, und die untere Integrationsgrenze bleibt immer gleich, das ist immer die 0. Wir haben hier schon festgestellt, was herauskommt, wenn wir also in den Hauptsatz, diese untere Integrationsgrenze einsetzen. Es ist nämlich das, was hier steht, das kommt dann raus. Und da haben wir ausgerechnet, dass das 25 ist. Es geht also nur noch um die obere Integrationsgrenze. Wir müssen gucken, was da rauskommt, wenn die immer größer wird. Untere ist sowieso, wenn wir es einsetzen, 25 kommt raus. Ja, und dann können wir Folgendes machen, das wird der Term sein, in dem wir die obere Integrationsgrenze einsetzen, für x also werden wir einen immer größeren Wert einsetzen, wir gucken was passiert. Zunächst mal interessiert mich, was ist das Vorzeichen. Wenn ich hier große Werte für x einsetze, steht hier e- ein großer Wert. ^- bedeutet ja 1 durch, das bedeutet nicht, dass da was negativ ist. Es heißt e- irgendwas ist immer positiv. Hier steht Minus, Minus, Minus. Wenn ich was einsetze, positive Zahlen für x, dann steht hier immer was Negatives. Das bedeutet, ich werde hier also negativ × positiv rechnen. Wenn ich also große Integrationsgrenzen einsetze, wird diese ganze Sache hier negativ. Danach kann ich mir also Folgendes weiterhin überlegen, da muss ich noch mal was aufmalen hier. Und zwar, wir haben, wenn ich noch diese Stammfunktion hier aufschreibe, dann kann man sich Folgendes hier überlegen, ×e-0,2×x. Also ich hab schon gesagt, das Ganze wird negativ. Ich werde also hier feststellen können, dass ich 25 Minus Etwas rechnen werde. Daher weiß ich schon, höher als 25 wird das Ganze sowieso nicht, was in dem konkreten Fall heißt, das gesamte Wachstum wird nicht mehr als 2,5 cm sein, das sind ja mm hier. Es wird nicht mehr als 25 mm sein und ich habe den Anfangswert von 2 cm noch. Das heißt, also höher als 4,5 cm wird der Kuchen niemals, da ich hier sowieso was abziehen werde von den 25 mm. Anfangshöhe + Wachstum = 4,5 cm - Etwas, was noch zu klären sein wird, wie groß ist das. Ich habe hier eine ganz rationale Funktion, die gegen -unendlich geht übrigens, wenn ich hier mal größere Werte für x einsetze. Das ist keine Kunst, das musst du nicht weiter nachweisen, das weiß man, weil ja e- Etwas bedeutet 1/e- dieses Etwas, dann geht das also gegen 0, e0,2x, wird sehr schnell sehr groß, wenn man große Werte für x einsetzt. Entsprechend ist 1/e0,2x dann sehr klein, geht also gegen 0. Und jetzt ist die Frage, wenn wir hier also einen Ausdruck haben, der gegen -unendlich geht und einen der gegen 0 geht und die multipliziert werden miteinander, wohin geht dann das Produkt? Und ja, als Mathematiker tut es mir in der Seele weh, aber in Nordrhein-Westfalen ist das so erlaubt und so gefordert, du sollst hier jetzt argumentieren, dass diese e-Funktion viel schneller gegen 0 geht, als irgendeine ganz rationale Funktion gegen unendlich, also + oder -unendlich geht. Diese Funktion geht viel schneller gegen 0 als die hier gegen unendlich geht und deshalb folgt daraus, dass der ganze Term gegen 0 geht. Wenn man etwas, was sehr schnell klein wird, mit etwas multipliziert, das relativ langsam groß wird, dann ist der Grenzwert da auch die 0. Eigentlich könnte man das auch mathematisch exakt machen, ist aber in Nordrhein-Westfalen, wie gesagt, nicht gefordert und wird eben auch so im Grundkurs nicht mehr gemacht in der Schule, also muss man so argumentieren. Das wiederum bedeutet jetzt, dass der Term, der hier abgezogen wird, dieser zum Beispiel hier, wenn man also für die obere Integrationsgrenze 20 einsetzt bzw. wenn man größere Zahlen einsetzt, dann wird ja der Term hier abgezogen von der 25. Der Term, der abgezogen wird, geht gegen 0. Von daher existiert das uneigentliche Integral und es ist 25. Also ist unsere Vermutung richtig. Was heißt die Vermutung? Ich habe ja gesagt, höher als 4,5 cm wird er sowieso nicht und da hab ich jetzt schon, ich habe es nicht gesagt, aber ich hab dann natürlich gleich vermutet, dass er dann, wenn er unendlich lange im Ofen ist, auch an diese 4,5 cm irgendwann rankommt. Und das ist richtig, was man eben daran sieht, dass wenn man in die Stammfunktion hier, in diese Stammfunktion, eine immer größere Zahl einsetzt als obere Grenze, dann geht das hier gegen 0. Und diese 25, also das Einsetzen der unteren Grenze bleibt übrig. Integral, uneigentliches Integral existiert, also ist gleich 25. Die maximale Höhe des Kuchens ist 4,5 cm. Damit ist die Integralsache abgeschlossen, dann zeige ich noch was zum grafischen Interpretieren von Funktionen und so weiter, das ist dann der letzte Teil der Aufgabe. Bis dahin, viel Spaß. Tschüss.

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3 Kommentare
  1. Default

    tolles video und ich geb dir recht martin wabnik

    Von T Mikeljevic, vor fast 3 Jahren
  2. Flyer wabnik

    Es gibt viele Schüler, die genau diese Art sehr gut finden. Du solltest nicht von Dir auf andere schließen.

    Von Martin Wabnik, vor mehr als 4 Jahren
  3. Default

    Die videos sind gut, aber es ist zu viel schnick schnack dabei ... als schüler möchte man das wissen schnell vermittelt bekommen

    Von Yevgeniy Y., vor mehr als 4 Jahren
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