Textversion des Videos

Transkript Exponentielle Wachstumsfunktionen – Tangente an Graphen

Hallo!

Wir haben eine Funktion. Wir haben deren Ableitung und den Funktionsgraphen. Und gefragt ist jetzt: Ermitteln Sie die Tangentengleichung der Tangente an den Graphen der Funktion f(x) an der Stelle x = 5. Hier ist der Graph. Tangenten kann man sich so vorstellen: Da sind Tangenten an dem Graphen. Und wir sollen nicht irgendeine Tangente ermitteln, sondern die Tangente an der Stelle x = 5. Ich schätze mal, so ungefähr wird sie aussehen. Das ist jetzt gefragt, was kann man da machen?   Zunächst einmal wissen wir, dass der Graph in diesem Berührpunkt mit der Tangente die gleiche Steigung hat wie die Tangente. Deshalb kann man mal - da wir das bei x = 5 machen sollen - 5 in die erste Ableitung einsetzten. Also die Tangente hat ja dort die gleiche Steigung wie die Funktion an dieser Stelle. Die erste Ableitung gibt die Steigung an, und deshalb möchte ich wissen: Wie groß ist die Steigung des Funktionsgraphen hier an der Stelle x = 5?   Und dann passiert Folgendes. Wir haben: f'(5) = (-0,02 × 52 + 0,2 × 5)e-0,2 x 5 Das kann ich hier auch gleich mal ein bisschen umformen. Ich weiß ja schon dass -0,02 gleich -2/100 ist (die zweite Stelle nach dem Komma ist ja die Hundertstel-Stelle). Und 2/100 stehen hier, das ist 1/50. Wenn ich 1/50 mit 25 multipliziere, dann kommt da ½ raus. Und deshalb steht hier in der Klammer also -½. 0,2 ist ja 1/5, mit 5 multipliziert ergibt das 1. -0,2 × 5 ist -1, also e^-1. f'(5) = (-½ + 1)e^-1 Und da hier jetzt also (-½ + 1) steht, ist das Ergebnis ½. Und e^-1 bedeutet 1/e. Also ist: f'(5) = 1/2e Das ist die Steigung der Tangente an dem Graphen an der Stelle x = 5.   Und dann mache ich auch gleich weiter. Wir wissen ja auch, durch welchen Punkt diese Tangente verläuft. Nämlich sie berührt ja diesen Graphen an der Stelle x = 5 (also Stelle bedeutet wieder: Stelle auf der x-Achse). Und dann möchte ich jetzt natürlich wissen, wie heißt denn dieser Berührpunkt? Der Berührpunkt hat 2 Koordinaten. Ich brauche die y-Koordinate noch. Und deshalb werde ich jetzt 5 in die Ausgangsfunktion einsetzten, und erhalte dann: f(5) = 0,1 × 52e-0,2 × 5 Und auch das ist schnell ausgerechnet, übrigens auch ohne Taschenrechner. 0,1 ist 1/10, mal 25 sind 2,5 (1/10 von 25 sind 2,5). Und hier haben wir wieder -0,2 × 5, das ist ja -1, also e^-1. f(5) = 2,5e^-1 Das ist also der Funktionswert an dieser Stelle.   Und jetzt möchte ich daraus eine Funktionsgleichung machen, aus diesen beiden Angaben. Ich weiß ja, dass es um eine Funktion geht, die eine Gerade ist. Es geht um eine lineare Funktion. Lineare Funktionen haben Funktionsgleichungen der Form: y = m × x + b Manchmal heißt es auch m × x + n oder a × x, das ist aber egal: Zahl mal x plus Zahl, das ist die Art der Funktionsgleichung. Und da ich jetzt schon die Steigung kenne, kann ich das schon mal hinschreiben. Die Steigung ist ja 1/2e. Ich kenne auch einen x-Wert und den zugehörigen y-Wert, nämlich bei x = 5 ist ja diese Funktion gleich 2,5 × e^-1. Und plus b muss ich noch hinschreiben: 2,5e^-1 = 1/2e × 5 + b   Und was ich jetzt erhalten habe, ist hier eine Gleichung mit einer Variablen, und die kann ich jetzt nach b auflösen, und dann direkt das b ausrechnen, indem ich nämlich auf beiden Seiten hier -1/2e × 5 rechne. Ich rechne auf beiden Seiten: -1/2e × 5 Und hier habe ich ja stehen, auf der Seite: 2,5e^-1. Das möchte ich jetzt bitte auch mal im Bruch haben, in einen gemeinen Bruch übersetzten, damit das hier ein bisschen harmoniert von der Schreibweise. 2,5 als Bruch sind ja 5/2 und e^-1 bedeutet ja 1/e, das heißt, ich habe hier: 5/2e. Dann kommt hier noch -5/2e (das schreibe auch auf einen Bruch): 5/2e - 5/2e Und siehe da, das Ergebnis ist 0 und das Ergebnis ist eben gleich b, weil ich ja diese Gleichung hier nach b umgestellt habe.   Dann ist das b also gleich 0, Steigung m ist 5/2e oder 2,5 × e^-1, wie immer man das schreiben will, ich schreibe jetzt einfach hier diese Geradengleichung auf: y = 2,5e^-1 × x Das ist die Geradengleichung, das ist die Tangentengleichung der Tangente an den Graphen der Funktion f(x) an der Stelle x = 5.   Viel Spaß damit, bis bald, tschüss!  

Informationen zum Video
5 Kommentare
  1. Bewerbungsfoto

    Das e ist die Eulersche Zahl, eine konstante Zahl, die in vielen mathematischen Zusammenhängen sehr wichtig ist. Bei Exponentialfunktionen spielt sie eine besondere Rolle. Sie hat ungefähr den Wert 2,717

    Von Steve Taube, vor etwa 6 Jahren
  2. Default

    Für was steht das e? und wie kommt man von f(x) =1/2X²-x-3/2 zu f`(x)=x-1 ????

    Von Kardia, vor etwa 6 Jahren
  3. Default

    Gut viele danke für die rückmeldung

    Von Rockhound, vor mehr als 7 Jahren
  4. Bewerbungsfoto

    Ja, das ist korrekt, es muss 0,5*1/e x sein. Martin hat versehentlich für m den Wert f(5) eingesetzt und nicht f'(5).

    Von Steve Taube, vor mehr als 7 Jahren
  5. Default

    Hab ich wirklich einen Fehler entdeckt?? Hab mit der Tangentengleichung nachgerechnet und komme auf 1/2*e^-1*x
    Bitte sagt mir ob ich da falsch liege!!

    Von Rockhound, vor mehr als 7 Jahren
Alle Videos & Übungen im Thema Exponentielle Wachstumsfunktionen – Kurvendiskussion »