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Transkript Exponentielle Wachstumsfunktionen – Stammfunktionen

Hallo! Hier ist eine Funktion, f(x) nämlich 0,2×x2×e-0,2×x. Es ist weiter eine Funktion F(x)gegeben, die hat den Funktionsterm (0,5×x2-5x-25)×e-0,2×x. Zu zeigen ist jetzt, dass F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist. Wie machen wir das? Indem wir nämlich F(x) ableiten, eine Stammfunktion der Funktion F(x) ist eine Funktion, deren Ableitung die Funktion f(x) ergibt. Also müssen wir einfach die Funktion F(x) ableiten. F'(x), so heißt das dann, ist jetzt, ja, das ist also ein Produkt hier, und da darf ich also die Produktregel anwenden. Ich werde zunächst den 1. Faktor ableiten. -0,5 ist ein Faktor, der bleibt stehen nach der Faktorregel. x2 wird abgeleitet zu 2x, -0,5×2=-1. Das muss man nicht noch mal extra hinschreiben, und -1×x schreibt man auch nicht hin, sondern einfach -x. Wir sind jetzt nicht mehr in der Grundschule, nicht, 2-mal eine Hälfte ist ein Ganzes. Ableitung von -5x ist -5, und der 2. Faktor bleibt hier einfach stehen, nämlich e-0,2×x. Und dann brauche ich eine neue Zeile, kommt der 1. Faktor, den schreibe ich hier einfach hin und dann leite ich den 2. Faktor ab. Also habe ich hier -0,5×x2-5×x-25, und jetzt muss ich hier e-0,5×x mit der Kettenregel ableiten, innere Funktion ist -0,2×x, deshalb ist die Ableitung der inneren Funktion -0,2 und das passt dann gerade noch hin, e hoch Exponent ist abgeleitet e hoch derselbe Exponent, also e-0,2×x. Exponent bleibt ja in der Ableitung immer gleich. Ich hab jetzt ein bisschen dreckige Finger, aber ich kann das jetzt nicht ändern. Wir machen Folgendes, ich möchte hier einmal dieses Produkt hier, das Produkt, das möchte ich ausrechnen, damit man hier mal ein bisschen klarer sieht. Dann kann ich den Anfang hier einfach abschreiben. Nämlich -x-5×e-0,2×x, und hier steht jetzt -0,5×(-0,2)×x2. Das ist 1/2×1/5=1/10. Das ist elementare Bruchrechnung. Minus×Minus=Plus. Also habe ich hier in der Klammer 1/10 stehen, und das ist 0,1×x2. -5×(-0,2). -0,2=-1/5, -5×(-1/5)=+1, das heißt, hier steht einfach x. Und -25×(-1/5)=+5 und e-0,2×x kommt natürlich noch hintendran. Und da sind wir schon fast durch. Ich kann nämlich jetzt hier das Distributivgesetz anwenden und diese beiden Klammern hier zusammenfassen. Dann wird also Folgendes übrig bleiben: 0,1×x2 und ich habe hier noch +x stehen, in der Klammer, und die Klammer kommt ja noch dazu, da steht -x, das hebt sich gegenseitig auf, -5 und +5 hebt sich gegenseitig auf und dann kommt noch dieser Faktor am Ende, nämlich e-0,2×x. Und wie wir sehen, durch Vergleichen dieser beiden Funktionsterme erkennen wir jetzt, dass es sich hier jetzt um f(x) handelt, und damit ist also der Nachweis erbracht, dass F(x), so wie es hier steht, eine Stammfunktion von f(x) ist, da ja die Ableitung der Funktion F(x) gleich der Funktion f(x) ist. Das war es zu dieser Aufgabe. Viel Spaß damit, bis bald! Tschüss!

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