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Transkript Exponentielle Wachstumsfunktionen – Rückschluss vom mittleren Wachstum auf Funktionswert

Hallo, wir haben einige Voraussetzungen zusammengetragen, und zwar, wir haben eine Funktion f(x), wir haben die Ableitung dieser Funktion, wir haben einen Graph dieser Funktion, der so aussieht. Außerdem haben wir ein abgeschlossenes Intervall [0;5], eine Funktion p(x), die den Funktionsterm hat (1/(2×e))×x und wir wissen also jetzt, dass der Mittelwert der Funktion f(x) auf dem abgeschlossenen Intervall [0;5] durch den Mittelwert der Funktion p(x) abgeschätzt werden kann. Und zwar ist der Mittelwert dieser Funktion p(x) ym=5/(4e). Das ist die Voraussetzung. Gefragt ist, welchen Schluss lässt dieser Mittelwert auf die ungefähre Größe des Ballons zu? Dann müssen wir uns das noch mal vorstellen. Wir haben ja, wenn der Ballon aufgeblasen, ja, ich darf mich noch mal zum Affen machen hier und einen Ballon aufpusten. Also, wir haben einen Anfangswert. Dieser Ballon hat eine gewisse Länge, ich behaupte jetzt einfach mal 7 cm, also die Anfangslänge 7 cm. Dann wird er ja  aufgepustet, und hier steht die Wachstumsgeschwindigkeit, die dieser Funktion hier folgt, und ich versuche das noch mal so zu machen, und wir müssen uns jetzt überlegen, wenn das also um das Intervall von 0 bis 5 geht und diese Einheiten auf der x-Achse ja die Zehntelsekunden sind, dann geht es also um die Geschwindigkeit des Wachstums, beziehungsweise um die Länge des Ballons. Es ist ja die Frage, welche Rückschlüsse kann man auf die Länge des Ballons ziehen. Es geht also um die Länge des Ballons in diesem Zeitintervall, also nach einer halben Sekunde. Das werden wir hier also sehen. Dieses abgeschlossene Intervall bedeutet von 0 bis 5 Zehntelsekunden, also nach der ersten halben Sekunde hat der Ballon eine bestimmte Länge, und dieser Wert ym=5/(4e) sagt etwas über diese Länge aus, und das müssen wir uns noch mal überlegen, was das ist. Also ich mach das noch mal vor. Anfangslänge hier 7 cm. Das gilt noch nicht, das ist noch nichts gepustet. Also ich glaube, ich habe am Anfang zu schnell gepustet, das war jetzt nicht ganz richtig. Aber du kannst dir das ja auch vorstellen, wie ein Luftballon aufgeblasen wird. Ich muss das ja nicht jedes Mal vormachen. Wie kommen wir jetzt weiter?   Wir können uns jetzt auch ganz elementar überlegen. Wir haben ja hier eine Funktion, die die Wachstumsgeschwindigkeit angibt, also die gibt ja die Längenwachstumsgeschwindigkeit an. Wie machen wir das normalerweise mit Mittelwerten, die hier bei solchen Funktionen, bei Geschwindigkeitsfunktionen, auftreten können? Das sagen wir normalerweise nicht so kompliziert, sondern wir sprechen einfach von der Durchschnittsgeschwindigkeit. Da heißt also, wir haben ja zunächst mal diese Funktion hier f(x) durch die Funktion p(x) angenähert. Die haben ja einen ähnlichen Funktionsverlauf. Wir haben einen Mittelwert dieser Funktion p(x), das ist der hier, das ist also näherungsweise die Durchschnittsgeschwindigkeit. Und zwar die Durchschnittgeschwindigkeit in der ersten halben Sekunde, das heißt von 0 bis 5 Zehntel. Die Durchschnittgeschwindigkeit, dann ist es aber einfach, wenn wir jetzt wissen wollen, wie groß ist der Ballon, wenn er mit einer bestimmten Durchschnittsgeschwindigkeit wächst. Das ist ähnlich wie beim Fahrradfahren. Ich möchte hier auch mal wieder so elementar was erklären. Wenn ich jetzt eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 20 km/h mit dem Fahrrad fahre und ich mach das zum Beispiel eine halbe Stunde lang, dann kann ich einfach die Durchschnittsgeschwindigkeit mal die halbe Stunde rechnen und weiß, wie weit ich gefahren bin. 10 km. Wenn ich 20 km in einer Stunde mit Durchschnittgeschwindigkeit von 20 km/h, dann schaffe ich eben in einer halben Stunde 10 km. Und hier ist das genauso. Ich habe eine Durchschnittgeschwindigkeit des Wachstums, also 5/(4e) und muss das multiplizieren mit 5, also weil die Länge des Intervalls ist ja 5 Zehntelsekunden. Mit dieser Länge muss ich das multiplizieren und bekomme dann die ungefähre Größe des Ballons, und zwar die Längenzunahme des Ballons in der ersten halben Sekunde. Das müsste man jetzt irgendwie noch schreiben, dass man also die Länge des Intervalls mit dem Mittelwert multipliziert und so eine ungefähre Längenzunahme des Ballons in der ersten halben Sekunde bekommt. Und die Rechnung ist dann natürlich denkbar einfach.   Ich habe den Mittelwert 5/(4e) und den multipliziere ich mit der Intervalllänge, nämlich 5, und dann muss ich noch die Anfangslänge dazu addieren, um auf die ungefähre Länge des Ballons nach einer halben Sekunde zu kommen. Das ist schon die ganze Rechnung, das kannst du eintippen in deinen Taschenrechner. Ich habe das heimlich mal vorbereitet und das ist ungefähr 9,23. Und das ist schon die ganze Rechnung hier. Der entscheidende Punkt der Aufgabe ist ja, dass du verstehst, ich muss in der Intervalllänge mit Mittelwert multiplizieren, um auf die Ballonlänge zu kommen. Und dann sollst du eben noch dazu bedenken, das ist die Längenzunahme in der ersten halben Sekunde, so ungefähr, das ist die Anfangslänge, beide muss ich addieren und habe dann nach einer halben Sekunde einen Ballon, der ungefähr 9 cm lang ist. Das kommt dann ungefähr hin. Damit ist die Aufgabe beendet. Viel Spaß. Tschüss.

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