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Transkript Exponentielle Wachstumsfunktionen – Nullstellen

Hallo! Wir haben die erste Ableitung und möchten die =0 setzen. Hier oben steht die erste Ableitung die wird =0 gesetzt das sieht folgendermaßen aus. Also wir überlegen uns als Erstes, diese Ableitung besteht aus 2 Faktoren. Diese Klammer ist der eine Faktor und e^-0,2x ist der zweite Faktor und das ist ein Produkt. Wenn 2 Faktoren multipliziert werden und ein Produkt ist genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist. Das ist eine Regel die begleitet dich hoffentlich seit der Mittelstufe, kommt immer wieder vor bei allen möglichen Gleichungen. Hier kommt sie auch wieder vor. Dann fangen wir mal mit dem letzten Faktor an, e^-0,2x. Da fällt dir bitte ein, das eine e-Funktion so wie sie da steht niemals 0 wird. e^-0,2x hat keine Nullstelle! Das darfst du als Wissen auch so voraussetzen, das musst du nicht weiter beweisen im Abitur. Du darfst es einfach hinschreiben, dieser Faktor hier hat keine Nullstelle. Den brauche ich nicht weiter betrachten. Es geht also noch um die Klammer. Das schreibe ich jetzt einfach mal auf, was da in der Klammer steht. Das setze ich =0. Also -0,02×x2+0,2×x=0. Und jetzt, ja, was kann man machen? Man kann das x ausklammern und so weiter, aber dir darf jetzt bitte auch was auffallen. Nämlich, wenn du dich ein bisschen mit Zahlen auskennst, dann weißt du, das hier vorne also 0,02, das sind 200tel. 2ootel ist 1 50tel. Hier steht also -1/50tel davor und dann darf man einfach so um die Sache hier mal ein bisschen abzukürzen mit -50 multiplizieren. Dann habe ich hier das x2 alleine stehen. Also nicht ganz alleine auf dieser Seite, aber die Vorzahl ist dann nicht mehr da bzw. die Vorzahl ist 1. Auf jeden Fall wird die Sache dann einfacher. Das darf man hier ruhig erkennen. -×-=+, 1/50×50 ist bitteschön 1. Hier steht also x2. So 0,2 ist 1/5, das weißt du bitte auch. 1/5×50=10. -50 haben wir gerechnet also steht hier -10x. Und jetzt ist die Sache so einfach geworden, das ich kaum noch weiter rechnen kann. Ich möchte natürlich jetzt direkt ein x ausklammern. Also x×(x-10) soll =0 sein. Daraus folgt, dass die eine Nullstelle bei x=0 ist. Wir argumentieren hier wieder: Ein Produkt ist genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist. Der eine Faktor hier, das ist das x. Der andere Faktor hier ist die Klammer x-10. x wird genau dann 0, wenn x=0 ist, klar. Eine Nullstelle ist also x=0 und die andere Nullstelle ist x2=10. x-10 ist 0 wenn x=10 ist. Muss man auch nicht weiter begründen, das ist einfach so klar. Ich möchte mich jetzt kümmern um die Nullstelle x2=10. Denn aus den Graphen wird deutlich das bei x=0, oder x1=0 kein Extremum sein kann. Das darf man auch ruhig so sagen. Das darfst du an dem Graphen sehen. Du hast ja vorher schon den Verlauf des Graphen beschrieben. Der Graph ist ja auch angegeben. Da darf man ganz elementar argumentieren und von daher reicht es hier einfach zu sagen, dort ist kein Extremum. Ich hab jetzt gesagt Extremum, ist egal. Es ist da ein Extremum das weiß ich aus dem Graphen, aber es ist kein Maximum. So muss es richtig heißen. Hier bei x=0 ist kein Maximum, das sehe ich aus dem Graphen und bei x2=10 da ist ein Extremum, ein Maximum. Es geht nur um das maximale Wachstum, also brauche ich hier x=0 nicht weiter zu betrachten. Das muss ich jetzt in die zweite Ableitung einsetzen und in die Ausgangsfunktion, falls hier tatsächlich ein Maximum ist. Was ich natürlich vermute. Mache ich im nächsten Teil. Bis dahin, tschüss!

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3 Kommentare
  1. Giuliano test

    @Lea Seyda:
    0,02 kann man in einen Bruch umwandeln und kürzen.
    0,02 = 2/100=1/50.
    Du sollst Folgendes auflösen:
    -0,02 x² + 0,2x = 0
    Dann ist das äquivalent zu:
    -1/50 x² + 0,2x =0
    Jetzt multipliziert man mit -50, damit auf der linken Seite 1 x² steht. Also da 0,2 * -50 = 10
    x²-10x=0
    Ich hoffe, dass ich helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 2 Jahren
  2. Default

    ich verstehe das mit 1 fünfzigstel usw nicht. woher weiss man das?

    Von Lea Seyda, vor mehr als 2 Jahren
  3. Default

    Super lustig erklärt habs sofort verstanden

    Von Michelle P., vor fast 3 Jahren
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