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Transkript Exponentielle Wachstumsfunktionen – Mittlere Steigung

Hallo! Wir haben eine Funktion, eine Ableitung, einen Graphen der Funktion. So sieht er aus. Die Frage ist nun: Bestimmen Sie die mittlere Steigung der Funktion f(x) auf dem abgeschlossenen Intervall 0-5. Abgeschlossenes Intervall (ich mal es eben noch mal hin) wird so geschrieben: [0;5]. Hier ist ein Semikolon, damit man das von Kommazahlen und Dezimalbrüchen natürlich unterscheiden kann. Auf diesem abgeschlossenen Intervall hat diese Funktion hier eine mittlere Steigung, so wie das normalerweise Funktionen haben. Ich möchte das einmal eben vormachen, wie man da allgemein also drangeht und was das bedeutet. Bevor du hier die Ableitung bemühst, überleg dir erst, was heißt das überhaupt hier mittlere Steigung? Wie kann ich mir das Ganze vorstellen? Angenommen wir haben hier folgenden Funktionsgraphen. Der soll z. B. so aussehen. Hier ist der Anfangspunkt der Linie, da ist f(0), der Funktionswert bei 0. Hier ist der Funktionswert bei 5, und wenn wir jetzt also die mittlere Steigung auf diesem Stück hier bestimmen sollen, dann müssen wir einfach die Endpunkte der Linie durch eine Gerade verbinden und dann die Steigung dieser Geraden ermitteln. Hier diese schwarze Gerade, die hat eine Steigung und die Steigung dieser Geraden ist die mittlere Steigung des roten Graphen auf dem Intervall [0;5]. Warum ist das Koordinatensystem noch nicht da? Weil es jetzt kommt, denn freundlicherweise ist der Anfangspunkt bei uns 0 und der Funktionswert ist 0. Das heißt, das Koordinatensystem liegt in unserem Fall direkt hier. So sieht das aus, und wenn wir hier die Steigung der schwarzen Geraden ermitteln wollen, brauchen wir nur zu wissen: Wie groß ist der Funktionswert unseres Graphen hier bei 5? Dann können wir diesen Funktionswert durch 5 teilen und laut Steigungsdreieck haben wir dann die Steigung der schwarzen Geraden. Das ist dann schon die mittlere Steigung der roten Funktion f(x) auf dem Intervall [0;5]. Nachdem wir das wissen, fange ich jetzt einfach einmal an und ermittle jetzt den Funktionswert bei 5. Das geht hier noch hin. f(5)=0,1×25e^-0,2×5 (x2 25 weil, wenn ich für x 5 einsetzte) und da bin ich auch fast direkt fertig. 0,1 =1/10×2,5 und e^-0,2×5=e^-1. Auch das kann man jetzt als Bruch schreiben. 2,5 sind ja 5/2. e^-1 bedeutet 1/e. Das heißt, wir können jetzt einfach sagen der Funktionswert an der Stelle 5=5/2e. Und da stelle ich fest, dass das gar nicht so schlau ist, denn ich muss ja jetzt diesen Funktionswert bei 5 durch 5 teilen. D. h. ich habe f(5)/5, und wenn ich den Doppelbruch vermeiden möchte, dann schreibe ich 2,5e^-1/5. 2,5/5=1,5. e^-1=1/e=1/2e= die mittlere Steigung des Graphen der Funktion f(x) auf dem abgeschlossenen Intervall [0;5]. Sehr elementar hier. Eigentlich war ja nur Mittelstufenstoff hier gefragt, aber auch das kommt vor. Viel Spaß damit, bis bald, tschüss.

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