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Transkript Exponentielle Wachstumsfunktionen – Mittelwert einer Funktion mit Mittelwertsatz

Hallo, es geht weiter um diese Funktionen: f(x)= 0,1x2 e^-0,2x. Die Ableitung haben wir auch schon. Es geht in dieser Aufgabe um das abgeschlossene Intervall (0;5) und um die Funktion p(x)=1/2e ×x. Und dieser Graph ist auch gegeben und wir kennen den Graphen der Funktion p(x) auch, ich deute das einmal kurz an, ganz so entscheidend ist das hier nicht, aber so sieht der Graph der Funktion p(x) in recht guter Näherung aus. Wir wissen, dass das mittlere Wachstum des Luftballons diese Funktion ist, wir erinnern uns, sie zeigt ja die Wachstumsgeschwindigkeit eines solchen Luftballons beim Aufblasen an, die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit kann auf dem abgeschlossenen Intervall (0;5) durch p(x)=1/2e×x abgeschätzt werden. Frage ist: Welche Schätzungen erhalten Sie? Ja, was kann man da machen, dann stellt man sich das mal vor! Das ist die Funktion, wir suchen den mittleren Funktionswert dieser Tangente, dieser Geraden der proportionalen Funktion p(x)= 1/2e×x. Wichtig hierbei ist, da dieser Graph hier die Wachstumsgeschwindigkeit angibt, hat das mittlere Wachstum bzw. die Wachstumsgeschwindigkeit nichts mit der Steigung des Graphen zu tun, sondern mit den tatsächlichen Funktionswerten. Und da möchte ich mal eben eine kleine Zeichnung zu machen. Wir haben ein Koordinatensystem, in diesem Koordinatensystem befindet sich ein Graph, und wir haben eine Abschätzung, und zwar durch diese proportionale Funktion, das ist diese Gerade hier oben, da ist der Funktionswert. Wenn wir jetzt einen mittleren Wert dieser Gerade suchen, dann kann man das grundsätzlich auch mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung machen. Das ginge natürlich auch bei allen anderen integrierbaren Funktionen, bei der echten Funktion f(x) zum Beispiel könnte man das machen, aber da wir das ja nun schon können und wissen, was der Mittelwertsatz der Integralrechnung ist, deshalb können wir das hier anwenden, und was dann rauskommt, ist so ein Funktionswert, so eine Höhe. Derartig, dass die Fläche unterhalb der Geraden, die ist, genauso groß, wie die Fläche dieses Rechtecks. Das kann man mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung machen. Das ist so ein bisschen, wie mit Kanonen auf Spatzen schießen, diesen mittleren Wert hätte man auch anders rauskriegen können, aber ich möchte es hier mal zeigen, wie es mit dem Mittelwertsatz geht: Dieser lautet 1/b-a × Integral von a bis b von f(x) dx, das ist ja hier der Mittelwert, den man dann herausbekommt und da muss ich ja einfach nur was einsetzen. Ich habe nämlich 1/ abgeschlossenes Intervall 0-5, also steht hier 5-0 mal Integral in den Grenzen von 0-5 von f(x), das ist nicht dieses f, sondern das p(x) in dem Moment, also mal 1/2e×x dx, und da kann ich mich kurzfassen, ich glaube, diese Integration hier ist kein besonderes Problem, wir haben eine Konstante, und wenn man x integriert, dann bekommt man 1/2 x2, ich werde gleich die 5 einsetzen, also steht hier 1/2e×1/2×52 und dann folgt noch minus Stammfunktion hiervon mit der eingesetzten 0, und wenn man dann mit x2 multipliziert und 0 als x-Wert eingibt, dann kommt da ja 0 raus, deshalb kann ich das also weglassen. Was ich hier noch vergessen habe, ist 1/5, das müsste eigentlich noch hier vorne stehen, aber ich kann das jetzt auch hier hinten hinschreiben, also 1/5 kommt da raus und ich möchte mal so frei sein und hier oben weiter schreiben. Dann haben wir 1/2e×1/2, das sind 1/4e und 52/5 ist 5. Und das ist der Wert, um den es hier geht, 5/4e ist also diese Höhe hier, der Mittelwert der proportionalen  Funktion auf dem Intervall von 0-5 und das ist eben auch so ähnlich wie der Mittelwert der Funktion f(x) auf dem abgeschlossenen Intervall von 0-5, wir haben ja diese Funktion p(x) genommen, um den Mittelwert hier abzuschätzen. Das ist gelungen, hier oben steht er. Ja, und ich glaube, mehr ist dazu nicht zu sagen, viel Spaß mit der Lösung, bis bald, tschüss!

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2 Kommentare
  1. Who is who 34

    Hallo,
    die Ableitung erhälst du, indem du zunächst die Produktregel anwendest. Vergiss nicht vorher den Faktor 0,1 auszuklammern, sonst kannst du dich leicht mal verrechnen. Nach der Anwendung der Regel erhälst du die Lösung, wenn du das Distributivgesetz anwendest und e^(-0,2x) ausklammerst.

    Von Sebastian W., vor mehr als 4 Jahren
  2. Default

    hallo wie kommt man auf die f´(x) komme nicht aufs selbe :( hilfe

    Von Kassandraanna, vor mehr als 4 Jahren
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