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Transkript Exponentielle Wachstumsfunktionen – Maximum bestimmen (2)

Hallo! Wir haben diese Funktion hier: f(x)=0,1×x2×e-0,2×x. Es ist außerdem gegeben, dass man dem Grafen entnehmen kann, dass im Bereich der positiven x-Werte dieser Graf ein einziges Maximum hat. Aufgabenstellung ist nun: Bestimmen Sie rechnerisch die genaue Lage des Maximums. Was kann man da machen? Nun, wir erinnern uns.(Also das brauche ich nicht mehr hier für die Aufgabe, der Graf in schön, der Graf in hässlich, den brauche ich jetzt auch nicht). Wir erinnern uns (oh, ich habe Luftballons). Wir erinnern uns daran, dass man, wenn man Maxima und Minima ausrechnen möchte, zum Beispiel etwas mit der notwendigen Bedingung anfangen kann. Das bedeutet dann: Die notwendige Bedingung sagt ja, wenn irgendwo ein Extremum ist, dann muss da die 1. Ableitung =0 sein. Das heißt, ohne uns weiter Gedanken zu machen, könnten wir jetzt mal hier die 1. Ableitung bilden der Funktion f(x). Dann kriegen wir also die Funktion f'(x). Und was brauchen wir dann? Hier haben wir ein schönes Multiplikationszeichen, auch Malpunkt genannt. Das bedeutet, hier ist der 1. Teil des Funktionsterms, da ist der 2. Teil des Funktionsterms. Das sind beides Faktoren, zusammen bilden sie ein Produkt, wir müssen die Produktregel verwenden. Der 1. Teil hier also 0,1×x2, das ist schnell abgeleitet. Wir verwenden die Faktorregel, und zwar 0,1 können wir einfach mal hinschreiben: 0,1× (x2 können wir ableiten nach der Potenzregel), das ist also 2×x, und den 2. Faktor müssen wir dann einfach hinschreiben, und zwar e-0,2×x2. Dann geht es weiter mit +, jetzt kommt der 2. Teil. Wir können also den 1. Faktor wieder direkt hinschreiben und müssen jetzt multiplizieren mit der Ableitung des 2. Faktors. Dieser 2. Faktor ist hier eine Exponentialfunktion. Wir haben also eine innere Funktion und eine äußere. Die innere ist der Exponent selber, die äußere ist e^ dieser Exponent. Wir brauchen die Kettenregel. Das heißt, wir können ableiten: -0,2×x, das ist die innere Funktion. Die Ableitung von -0,2×x=-0,2. (Ich hoffe, ich habe das Minuszeichen immer dazu gesagt.) Und die äußere Ableitung: eExponent abgeleitet ergibt wieder eExponent, und zwar den gleichen Exponenten wie vorher. Deshalb kann ich also e-0,2×x wieder da hinschreiben. Und das kann man natürlich so jetzt nicht stehen lassen, da muss man das erst noch ein bisschen verschönern. Ich fange mal ganz links an, vielleicht komme ich dann mit einer Zeile aus. Du kannst es in deinem Heft natürlich etwas schöner machen, kein Problem. Also, ich möchte das Distributivgesetz anwenden. Ich habe ja 2 Summanden, und jedes Mal steht am Ende der Faktor e-0,2x. Das bedeutet, ich kann e-0,2x ausklammern. Und ich möchte gleich so ordnen, dass das x2 jetzt hier am Anfang steht. Das bedeutet, es geht sowieso schon mal die Klammer auf. Ich habe hier ein Minuszeichen, was in diesen Faktoren hier drinsteckt. Das heißt, es wird etwas Negatives herauskommen. 0,1×0,2=0,02 (ja, das müssen auch schöne Nullen sein hier, so. Naja, schöner werden sie nicht, egal.) -0,02×x2+ (hier vorne ist dieser Faktor, der ist positiv.) 0,1×2=0,2 (auch das geht ohne Taschenrechner übrigens, ich hoffe, dass das geht.) ×e-0,2×x. So, das ist schon die Ableitung. Ich bin mit einer Zeile ausgekommen. Und jetzt geht es also darum, diese Ableitung =0 zu setzen, für die notwendige Bedingung. Zunächst mal eine Argumentation vorneweg. Das ist ein Produkt. Dieses Produkt soll 0 werden. Das Produkt wird genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 wird. Ein Produkt kann ja auch aus 3, 4, 5 Faktoren bestehen. Einer dieser Faktoren muss 0 sein, dann wird das gesamte Produkt 0. Und nur, wenn das der Fall ist, ist das Produkt eben auch 0. e-0,2×x ist nicht 0, niemals, für kein x. Das darf man voraussetzen, muss man nicht weiter erklären. Das heißt, wenn diese 1. Ableitung =0 ist, dann muss die Klammer =0 sein. Also kann ich nun Folgendes machen: Ich schreibe diese Klammer ab, ohne Kammer, und setze sie =0. -0,02×x2+0,2×x=0. Und das hier vorne ist mir ein bisschen zu wiggelig. Ich möchte diesen Vorfaktor hier nicht mehr haben, ich möchte ein x2 da stehen haben, ohne diese Zahl da vorne. Und da darf ich mir natürlich direkt überlegen: Was ist denn hier 0,02? Das ist 1/50, ja das darf man ruhig wissen. Die 2. Stelle nach dem Komma ist die Hundertstel-Stelle. Wenn da 2 Hundertstel stehen ist das wie 1/50. Wir haben hier also -1/50 vor dem x stehen. Deshalb plädiere ich dafür, diese ganze Gleichung mit -50 zu multiplizieren. Ich hätte natürlich auch schreiben können, ich teile durch -0,02. Aber bitte Leute, man darf ruhig wissen, dass 0,02=1/50 ist; also mit -1/50 multiplizieren. x2 steht jetzt am Anfang. Und wir haben hier Minus, weil wir ja mit Minus multipliziert haben. Hier steht 0,2, das ist übrigens 1/5. 1/5×50=10. x2-10x=0, das möchten wir haben. Und da sehe ich gleich (ja, ich schreibe die 0 noch hin, ich kann gleich in der Zeile weiterschreiben), wenn du hier, wie in dieser Zeile, eine quadratische Gleichung gegeben hast, dann hast du ja ein Schema im Kopf, Punkt 1, 2, 3, 4, 5, was du machen kannst, um diese Gleichung zu lösen. Und der 1. Punkt, wenn diese Gleichung hier schon so steht mit =0 am Ende, meiner Ansicht nach sollte sein: Du guckst nach, ob du ein x ausklammern kannst, was hier der Fall ist. Beide Summanden enthalten das x, ein Summand ohne x ist nicht vorhanden. Deshalb kann ich hier also gleich schreiben: das Ganze =x×(x-10). (Also x× Klammer auf x-10 Klammer zu, um des deutlicher zu sagen.)  Ich habe ein x ausgeklammert. Das ist deshalb jetzt sehr einfach, weil ich jetzt quasi hier die Nullstellen ablesen kann. Eine Nullstelle ist bei 0. Wenn x=0 wird, wird also dieser Term hier =0. Ich schreibe mal hier das "oder" hin. Das bedeutet, hieraus folgt also, dass x=0 sein kann oder dass x=10 sein kann. Denn x-10 ist genau dann 0, wenn x=10 ist. Und dann habe ich direkt schon die Nullstellen gefunden, ohne hier eine p-q-Formel oder Mitternachtsformel oder sonst was anzuwenden. Das darf man hier ruhig sehen. Ja, wie das oft bei den Aufgaben also ist, du kannst viel Zeit sparen, wenn du so etwas siehst, wenn du ein vernünftiges Schema im Kopf hast. Du kannst aber auch einfach standardmäßig vorgehen, dann kommst du meistens auch zum Ergebnis und zum richtigen Ergebnis, hoffe ich. Aber es dauert eben länger. Wir müssen noch ausrechnen, wie groß der Funktionswert bei x=10 ist. Und das möchte ich jetzt mal aufschreiben. Also wir haben f(10), wir müssen jetzt diesen gefundenen x-Wert in die Ausgangsfunktion einsetzen. Ja, vielleicht denken manche Leute: Na, was ist mit der hinreichenden Bedingung? Ich komme da gleich drauf zu sprechen. Ich komme da gleich drauf. (Wo ist meine Funktion? Das weiß ich auswendig, ist egal, du hast sie eh schon aufgeschrieben.) Also 0,1×x2, und da steht jetzt natürlich kein x, sondern eine 102×e-0,2×10. Und das darf man jetzt schöner schreiben. 102, das ist =100, 0,1=1/10, 1/10×100=10. Also nochmal, wenn du hierfür immer den Taschenrechner benutzt, dann wirst du bekloppt, ich sage dir das. Also 10×... 0,2, das =1/5 (ach das ist ein Malzeichen hier, das ist natürlich kein Minuszeichen) ... 0,2, also 1/5×10, das ist =2. Hier steht -2, also e^-2. Oder, nur der Vollständigkeit halber, das bedeutet 10/(e2). Oder das ist natürlich hier genau so gut, du musst das nicht als Bruch schreiben. Und man könnte jetzt noch das irgendwie abschätzen und einen Näherungswert angeben. Der ist, ich habe das vorher heimlich vorbereitet, also e2 ist ungefähr 7,3 oder so; also 10 geteilt durch das ist dann also ca. 1,3, sowas kommt da heraus. Jedenfalls 1,3, ein bisschen mehr. So und um das mal zu klären: Das hier war nicht gefragt. In der Aufgabenstellung war gefragt: Bestimmen Sie rechnerisch die exakte Lage des Maximums. Bei x=10, das wissen wir, das ist exakt. Und der exakte y-Wert übrigens ist 10×e^-2. Der exakte Wert ist nicht 1,3 und auch nicht 1,35 oder was immer dein Taschenrechner anzeigt. Das kann nicht der exakte Wert sein, denn der exakte Wert ist eine irrationale Zahl. Man kann sie nicht aufschreiben. Sie hat unendlich viele nichtperiodische Nachkommastellen. Nach dem gerundeten Ergebnis war nicht gefragt. Du kannst es natürlich hinschreiben, dafür gibt es aber keine Punkte. Hier ist also der exakte y-Wert. Ich kann das natürlich jetzt noch aufschreiben hier, Maximum bei 10 und 10×e^-2, das mache ich jetzt nicht. Denn ich möchte noch darauf zu sprechen kommen, was mit der hinreichenden Bedingung ist. Also, um das noch mal zu wiederholen: Notwendige Bedingung bedeutet, wenn ein Extremum vorhanden ist, dann ist die 1. Ableitung =0. Notwendig für ein Extremum ist also, dass die 1. Ableitung =0 ist. Das reicht aber nicht, und deshalb gibt es ja die hinreichende Bedingung. Die hinreichende Bedingung besteht aus 2 Teilen. Die 1. Ableitung ist an einer bestimmten Stelle =0, und an der gleichen Stelle ist die 2. Ableitung ≠0. Beziehungsweise, wenn man das Vorzeichenwechsel-Kriterium nimmt, hinreichende Bedingung heißt dann: 1. Ableitung =0 und hat an der Nullstelle einen Vorzeichenwechsel. Wenn das der Fall ist, können wir daraus folgern, dass dort ein Extremum ist. Was aber nicht bedeutet, dass immer, wenn irgendwo ein Extremum ist, die hinreichende Bedingung in ihren beiden Teilen auch erfüllt ist. Das nur eben zur Wiederholung. Und normalerweise, wenn man jetzt mit der notwendigen Bedingung anfängt, das heißt, die 1. Ableitung bildet, die =0 setzt und ausrechnet, an welchen x-Stellen diese Ableitung also =0 wird, dann wäre es natürlich schlau, erst zu überprüfen mit dem hinreichenden Kriterium, ob da tatsächlich ein Maximum oder Minimum ist, bevor man die gefundenen Werte also in die Ausgangsfunktion einsetzt, um dann eben auch die y-Werte an dieser Stelle auszurechnen. Das habe ich jetzt nicht gemacht. Und warum habe ich das nicht gemacht? Weil nämlich in der Aufgabenstellung schon davon die Rede war, dass man bitte den Grafen ablesen soll oder dem Grafen entnehmen soll, dass sich im positiven Bereich ein einziges Maximum befindet, dass dies also tatsächlich da ist. Und dann reicht unter diesen Bedingungen die notwendige Bedingung, ich weiß schon, dass ein Maximum da ist. Das Maximum kann nur an der Stelle sein, wo die 1. Ableitung =0 wird. Das ist an der Stelle x=10 der Fall. x=0 gehört nicht zum positiven x-Wertebereich oder zum positiven Teil der x-Achse. Also das einzige Maximum ist bei x=10. Und deshalb brauche ich hier die 2. Ableitung nicht zu bilden und muss auch nicht nachweisen, dass die 1. Ableitung einen Vorzeichenwechsel hat an dieser Stelle. Deshalb sind wir hier damit fertig. Also Maximum M hat die Koordinaten (10|10×e^-2). Das ist es. Ja, ich hoffe, du siehst das genauso. Viel Spaß, bis bald, tschüss!  

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