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Transkript Exponentielle Wachstumsfunktionen – Maximum bestimmen (1)

Hallo! Wir haben bisher 2 Nullstellen der 1. Ableitung, nämlich bei x=0 und bei x=10. Hier ist kein Maximum. Hier ist wohl ein Extremum (ich weiß es, ich sag es einfach so), aber ein Maximum ist hier auf gar keinen Fall. Das kann ich weglassen, weil der Graf so aussieht, dass ich das ausschließen kann. Das Maximum kann bei x2=10 sein. Und um das festzustellen, muss ich 10 in die 2. Ableitung einsetzen. Und: Taschenrechner brauchst du nicht! Denn das sind so einfache Zahlen, das kannst du bitte im Kopf. Du kannst also so einfache Sachen nicht in deinen Taschenrechner eintippen, nicht, wenn du Abitur machst. Du musst auch ein bisschen Stolz haben, so geht das nicht. Also: 0,004, das sind 4/1000, werden mit 102 multipliziert. 102=100. 4/1000×100=4/10. Okay? Du kannst auch, wenn du mit 100 multiplizierst, das Komma um 2 Stellen nach rechts verschieben. Das weißt du noch aus der Unterstufe. Also hier steht 0,4. 0,08×10=0,8. Da braucht man keine Worte drüber verlieren. 0,4-0,8=-0,4 (okay?) +0,2=-0,2. Und hier wird noch multipliziert mit e-0,2×10. Hier ist nur interessant, dass e-0,2×10 ein positiver Wert ist. Ich hoffe, du weißt ja, was das Minuszeichen hier im Exponenten bedeutet. Es bedeutet nicht, dass die Zahl negativ ist, die hier herauskommt, sondern das 1/e0,2×x gerechnet wird; in unserem Fall also 1/e-0,2×10. Das ist >0. Am Vorzeichen ändert sich hier dann also im Ganzen nichts. In der Klammer steht ja jetzt -0,2. Das × ein positiver Wert, das ist im Ganzen ein negativer Wert. Das heißt, die 2. Ableitung ist an der Stelle 10< 0. Und deshalb können wir sicher sein, dass an der Stelle 10 ein Maximum ist. Jetzt sagen Leute: Das hätte ich in der Zeit auch mit meinem Taschenrechner ausgerechnet. Ja, kann sein. Aber 1. hast du einen besseren Überblick, wenn du das im Kopf machst, und 2. habe ich ja hier unten alles erklärt. Wenn du öfter rechnest, siehst du das einfach so, dass das so ist. Und da kannst du wirklich sicher sein, dass du richtig gerechnet hast. Ansonsten, wenn du das alles eintippst, weißt du nicht, ob du dich vertippt hast. Wie auch immer, bei x=10 oder x2=10 ist ein Maximum. Das wissen wir jetzt. Und wir müssen diesen Wert jetzt noch in die Ausgangsfunktion einsetzen. Das werde ich jetzt mal machen. Dann erscheint hier Folgendes: f(10)=0,1 (hier steht x2, das ist 102) ×102×e-0,2×10. So, und jetzt darf ich auch wieder meinen Kopf gebrauchen und nicht unbedingt meinen Taschenrechner. 0,1=1/10 ×102 das ist bitteschön =10 ×e^-0,2 (Das ist 1/5 und 1/5×10=2. Hier steht also -2, also e^-2.) Und das darf ich jetzt auch noch als Bruch schreiben, das ist 10/e2. (^Minus bedeutet ja 1/, das habe ich schon mal gesagt. Ja, man kann das nicht oft genug sagen.) Und jetzt nehme ich meinen Taschenrechner und rechne das Ergebnis so genau wie möglich nach. Also: 10/e2. Das ist also ca.... (Ja, was heißt, so genau wie möglich. Ich muss jetzt überlegen, was hier irgendwie sinnvoll ist.) also 1,35 würde ich sagen. Genauer muss es nicht sein. Das ist also der Funktionswert bei x=10. Die momentane Wachstumsrate ist 1,35 mm. Und da ist das Wachstum maximal. Also: Extremum gefunden. Es geht weiter mit den anderen Fragen. Bis dann, tschüss!  

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2 Kommentare
  1. Sarah2

    @Measy 67: "e" steht für die Eulersche Zahl. Bei vielen Taschenrechnern gibt es dafür eine Taste, zum Beispiel mit e oder auch e^x; am besten schaust du mal in die Bedienungsanleitung für deinen Taschenrechner. Zur Not kannst du natürlich auch die gerundeten ersten paar Stellen für e eingeben, also z.B. "2,71828".
    Ich hoffe, ich konnte dir weiterhelfen.

    Von Sarah Kriz, vor etwa einem Jahr
  2. C.sarimese

    Ich hab nicht verstanden wofür e steht? Also was haben sie für im TR eingetippt?

    Von Measy 67, vor etwa einem Jahr
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