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Transkript Exponentielle Wachstumsfunktionen – Extrema, Wendepunkte, Nullstellen

Hallo. Kommen wir zur letzten Frage. In der Sammlung dieser Fragen, die gestellt wurden, fehlt noch eine, nämlich die, nach den notwendigen und hinreichenden Bedingungen für Extrema und Wendepunkte. Also, das fehlt noch. Natürlich wird nicht gefragt: Nennen Sie die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt. Das wäre zu einfach, das wäre ein bisschen verklausuliert dargestellt, nicht um dich zu verunsichern, sondern um eben abzufragen: Kennt sich der Prüfling mit den Zusammenhängen, notwendige, hinreichende Bedingung extremer Wendepunkt, aus? Da solltest du dich gut auskennen. Dir sollte da gleich etwas einfallen, damit du dann direkt reagieren kannst. Wenn du das nur so formal auswendig gelernt hast, wird dir das dann nicht gelingen.     Also, im Abitur 2007 wurde gefragt, bei der Funktion, die da gegeben war: Zeigen Sie das F(x) eine Wendestelle hat. Oder so ähnlich war es. F(x) haben wir schon gebildet. Man soll sich jetzt einfach überlegen, unter welchen Bedingungen F(x), also eine Stammfunktion von f(x), eine Wendestelle, oder einen Wendepunkt, hat. Du kannst jetzt zum einen aufschreiben, was die Bedingungen sind, indem du natürlich berücksichtigst, dass F'(x)=f(x) ist. Das ist ja die Definition einer Stammfunktion. Also F(x) ist eine Stammfunktion von f(x), wenn F'(x)=f(x) ist. Wir wissen außerdem, dass F''(x)=f'(x) ist. Und wir wissen auch, dass F'''(x)=f''(x) ist. Das sollst du jetzt hier berücksichtigen. Und ich muss ehrlich sagen, dass ich, als ich die Aufgabe gelesen habe, dachte: Das kann doch nicht sein, irgendwie weiß ich nicht, da muss ein Haken sein. Es ist kein Haken da. Wenn du die Sache so nachweisen willst, also hier mit der hinreichenden Bedingung für einen Wendepunkt. So, dass F''(x)=0 ist. Das kann ich hier einmal hinschreiben. Ich mache das jetzt hier so ein bisschen salopp. F''(x)=0 und F'''(x)Ungleich0. Alternativ kannst du natürlich auch sagen: F''(x)=0 und hat dort einen Vorzeichenwechsel, das ist dann das Vorzeichenwechselkriterium. Ich mache es jetzt hier mit F'''(x). Wir müssen zeigen, dass F''(x)=0 und F'''(x)Ungleich0. Das haben wir aber schon gezeigt, nämlich an der Stelle 10. Da hatten wir ja ein Maximum. Und das haben wir gezeigt über f'(x), oder f'(10)=0 und f''(10)Ungleich0. Deshalb habe ich mich ja gewundert und das ist tatsächlich so, dass man das hier noch einmal hinschreiben soll. Da man das schon gemacht hat, kann man deshalb sicher sein, dass F(x) deshalb einen Wendepunkt hat. Weil hier die hinreichende Bedingung erfüllt ist, und zwar an der Stelle x=10. Dann könnte man noch den Funktionswert ausrechnen, falls er gefragt ist. Also wenn nach der Wendestelle gefragt wird, dann brauchst du nur 10 angeben, wenn nach dem Wendepunkt gefragt wird, musst du natürlich auch den y-Wert angeben. Dann müsste man natürlich den x-Wert in diese Funktion F(x) einsetzen. Man kann das aber auch anders machen. Und das fand ich irgendwie noch lustiger. Und zwar folgendermaßen: Wenn du ein bisschen grafisch hin und her abgeleitet hast, und du weißt, wo Wendepunkte sind und wie eine Funktion  aussehen muss, damit da Extrema und Wendepunkte sind, dann weißt du auch folgendes: Eine Funktion hat genau dann einen Wendepunkt, wenn die 1. Ableitung ein Extremum hat. Ich schreibe hier f'(x) hin, und da soll f(x) sein. Ich möchte jetzt einfach grafisch zeigen, wie Wendepunkte zustande kommen. Nur einmal als Beispiel. Die Funktion könnte hier so laufen, und so. Das ist die Ableitungsfunktion f'(x). Die hat hier ein Extremum und da ein Extremum. Ich möchte das Mal in dem Rahmen hier aufzeichnen, wie dann f(x) aussehen könnte. Zum Beispiel könnte f(x) hier anfangen. f(x) steigt, steigt mehr, und steigt danach weniger. Das bedeutet, es könnte so aussehen: Größere Steigung und dann wieder weniger Steigung. Hier wäre dann die größte Steigung. Die muss jetzt da ein bisschen um die Kurve gehen. Da ist die größte Steigung und dann haben wir wieder weniger Steigung. Auf den Abständen ist das ein bisschen schwierig. Hier haben wir die geringste Steigung, also da. Ich mache das jetzt vielleicht erst so. Da steigt die Funktion, steigt und steigt und steigt. Und da steigt sie am wenigsten. Sie wird übrigens nicht null. Da steigt sie am wenigsten und dann steigt sie wieder stärker. Und wenn du das also öfter gemacht hast, weißt du sofort: Klar, immer wenn die Ableitung ein echtes Extremum hat, dann hat die Ausgangsfunktion einen Wendepunkt. Das ist hier kein Wendepunkt, das ist nur unsauber gezeichnet. Wenn du das also weißt, dann darfst du das einfach hinschreiben. Dann sagst du, dass diese Funktion hier, f(x), ein echtes Extremum hat. F(x) hat damit, weil F(x) eine Stammfunktion ist, einen Wendepunkt. Das wäre dann alles. Mehr muss man nicht sagen. Und das hat mich gewundert, aber das war ernst gemeint, das hätte man dahin schreiben sollen. So, damit kann ich nun aufhören zu quasseln. Die Stimme macht auch schon nicht mehr ganz mit. Und die Abituraufgabe, die sehr ähnlich ist der Aufgabe, die im Abi 2007 in Nordrhein-Westfalen gestellt wurde, haben wir damit erledigt und gelöst. Ich hoffe, du siehst das alles genauso, wie ich das hier erklärt habe. Viel Spaß mit den weiteren Aufgaben. Bis bald. Tschüss.

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