Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Exponentielle Wachstumsfunktionen – Extrema und Wendepunkte

Hallo, wir haben bereits diese Funktionsgleichung f(x)=0,1x²×e-0,2x. Wir erkennen schon die Einheiten hier auf der x- und y-Achse. Wir haben den Graphen schon gesehen. Wir haben ihn grob beschrieben. Wir kennen den Definitionsbereich, nämlich alle nichtnegativen reellen Zahlen. Und nun ist zusätzlich danach gefragt, den Graphen und den Verlauf des Graphen in ihrem Sachzusammenhang zu beschreiben, und zwar unter Berücksichtigung eventuell vorhandener Maxima und Minima, ebenso unter der Berücksichtigung eventuell vorhandener Wendepunkte, und außerdem ist die Frage: Beurteilen Sie, wie realistisch diese Funktion und der Graph den Verlauf des Längenwachstums des Ballons für große x-Werte wiedergibt. Also gefragt ist: Was passiert, wenn x gegen Unendlich geht? Hat das dann noch etwas mit dem echten Ballon zu tun oder nicht oder wie realistisch ist das? Viele Fragen auf einmal, ich fange einmal vorne an. Wir sollen also etwaige, beziehungsweise eventuelle vorhandene Maxima und Minima berücksichtigen. Und wir haben bereits in der schon vorhandenen Beschreibung gesagt, dass es hier bei circa 10 ein Maximum gibt, ein Maximum mit einer Wachstumsgeschwindigkeit. Dann, wie man hier an dem Graphen gut sehen kann, ist hier wohl ein Minimum. Naja, wenn das so aussieht, dann soll da auch ein sein. Also, du wirst ja nicht veräppelt hier bei den Aufgaben, sondern da sie auch wirklich eins. Aber, was du jetzt noch berücksichtigen sollst, ist, dass eben der Definitionsbereich nur aus den nichtnegativen reellen Zahlen besteht, also alle positiven und 0 zusammen, das ist der Definitionsbereich. Das bedeutet, dieser Teil des Graphen hier gehört nicht mehr zum Definitionsbereich. Das bedeutet weiterhin, dass wir hier nur ein rechtsseitiges Minimum haben, kein Einfach-so-Minimum, sondern nur ein rechtsseitiges. Tatsächlich hat zwar dieser Graph hier, oder diese Funktion, oder wie man das sagen will, da ist tatsächlich ein Minimum, ein echtes Minimum, was dann von beiden Seiten auch ein Minimum ist. Aber da der Definitionsbereich nur 0 und den positiven reellen Zahlen besteht, können wir von links nicht annähern, das ist außerhalb des Definitionsbereichs, und daher ist dieses Minimum rechtsseitig. Das darf man dazu sagen. Es gibt Wendepunkte, klar. Wenn wir hier ein Minimum haben, auch ein rechtsseitiges Minimum, nein stimmt gar nicht, hier tendiert die Steigung gegen 0 und da auch, und deshalb ist zwischendurch ein Wendepunkt. Aber das brauchst du so genau gar nicht sagen. Man kann einfach sagen, dass man zwischen 0 und 10 einen Wendepunkt hat und für größere x-Werte auch einen Wendepunkt hat. Vielleicht kann man hier noch etwas schöner argumentieren, dass ja bei dem Maximum die Steigung 0 ist, also die Steigung dieses Graphen ist 0, nicht die Wachstumsgeschwindigkeit ist 0, sondern die Steigung dieses Graphen ist 0. Und danach tendiert die Steigung auch wieder gegen 0. Zwischendurch ist die Steigung kleiner als 0. Hier ist also ein echtes Gefälle vorhanden, ein Gefälle, was offenbar viel kleiner als 0 ist, also das Gefälle ist stärker als 0, beziehungsweise die Steigung ist echt kleiner als 0. Das sieht man hier. Also muss da auch ein Wendepunkt liegen. Man kann einfach sagen, es sind zwei Wendepunkte da, das lese ich so aus dem Graphen ab, und an diesem Wendepunkt, am Ersten, steigt die Wachstumsgeschwindigkeit maximal, und am zweiten Wendepunkt fällt die Wachstumsgeschwindigkeit maximal. Das kann man so sagen. Das soll man hier sagen, das also die Veränderung der Wachstumsgeschwindigkeit jeweils an den Wendepunkten maximal ist, ja, das ist richtig so. Wir sollen noch beurteilen, wie realistisch also dieser Graph und diese Funktion das Wachstum des Luftballons für große x-Werte wiedergeben und dazu möchte ich noch einmal einen Luftballon ausblasen, nur um das noch einmal zu demonstrieren. Zum Zeitpunkt 0 ist der Luftballon so groß. Wir wissen hier übrigens nicht, wie groß der Luftballon am Anfang ist, wir wissen nur, dass er bisher jetzt gerade nicht wächst. Das ist ja richtig. Wir wissen nicht, wie groß er ist. Aber wenn ich anfange zu blasen, dann zählt die Zeit. Also muss ich erst Luft holen. Also, jetzt wächst er nicht mehr. Und wir müssen jetzt beurteilen, ob dieser Verlauf hier realistisch ist. Und dafür gibt es zwei Möglichkeiten. Die möchte ich aber im zweiten Teil zeigen. Bis dahin, viel Spaß, tschüss!  

Informationen zum Video
Alle Videos & Übungen im Thema Exponentielle Wachstumsfunktionen – Kurvendiskussion »