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Transkript Exponentielle Wachstumsfunktionen – Bestimmte Integrale

Hallo! Nachdem wir jetzt wissen, dass das hier eine Stammfunktion unserer Ausgangsfunktion ist, wird dann meistens im weiteren Verlauf der Abiturprüfung gefragt, dass du jetzt ein bestimmtes Integral ausrechnen sollst. Das darfst du auch schon fast erwarten, dass das kommt. Kannst du dich natürlich nicht drauf verlassen, aber meistens ist das so. Also, wir können jetzt zum Beispiel gefragt werden: Berechnen Sie die Höhe des Kuchens, die tatsächliche, genaue Höhe des Kuchens, nach 20 Minuten. Und wenn da "tatsächlich" steht und "genau" steht, dann bedeutet das du sollst eben jetzt nicht abschätzen, sondern wirklich das Integral ausrechnen. Das Integral einer Wachstumsfunktion gibt ja dann die tatsächliche Größe an, wenn man dann noch die Anfangsbedingung hier, die Anfangshöhe, mit berücksichtigt. Also, wir berechnen das Integral von 0 bis 20, das passt kaum hier hin, hier steht eine 20, Integral von 0 bis 20 der Funktion f(x), das heißt also von 0,1x²e-0,2x. Das macht man jetzt indem man hier die Stammfunktion einsetzt, nach dem Hauptsatz macht man das. Da brauche ich direkt eine neue Zeile. Also, ich kann den Hauptsatz ja noch mal eben - nein, den Hauptsatz brauche ich nicht mehr hinschreiben, den weißt du bitte auswendig. Also, jetzt muss ich hier hinschreiben diese Stammfunktion (-0,5x²-5x-25)e-0,2x und das möchte ich natürlich haben in den Grenzen von 0 bis 20. So sieht der Term dann aus und das bedeutet jetzt, ich muss halt in diese Stammfunktion, die hier steht, noch 0 und 20 einsetzen. Ich fange an mit der oberen Grenze, die wird hier eingesetzt. Dann habe ich da also stehen (-0,5×20²-5×20-25)×e-0,2×20 und dann muss ich Minus rechnen und hier jeweils die 0 einsetzen. Das setze ich hier natürlich wieder in Klammern. Also bitte denk daran, wenn du den Hauptsatz anwendest, hier kommt ein Minus hin und jetzt steht hier zwar schon eine Klammer, aber oft folgt danach auch eine Summe. Du darfst also diese Klammer bitte nicht vergessen. Es kommt immer wieder vor, deshalb sage ich es. Also (-0,5×0²-5×0-25)e-0,2×0. Ja und damit ist der Term hier vollständig. Jetzt muss ich das noch ausrechnen. Ich darf es noch mal sagen, hier musst du nicht alles eintippen. Wenn du das alles eintippst, kann ich nur sagen, selber schuld. Die Gefahr, dass du dich hierbei vertippst ist so enorm groß, also bitte mit etwas Denken dazu. Taschenrechner schmeiße ich jetzt nicht. Also, Folgendes passiert hier. Ich kann erst mal diese Zahl ausrechnen, die hier steht. Also, 20² weißt du bitte auch auswendig, das ist 400. 400×0,5, das ist die Hälfte von 400, denn 0,5 ist ½. Die Hälfte von 400 ist 200. Hier steht also -200. 5×20=100, hier steht also -200-100-25, das ist -325. Ja, kein Problem. Mal e hoch, ja das schreibe ich natürlich auch nicht hin, 0,2×20, wie wir ja wissen ist 0,2=1/5, 20÷5, wenn ich mit 1/5 multipliziere ist das ja wenn du durch 5 teilst 20÷5=4. Und dann mache ich hier mit der zweiten Zeile weiter. Es folgt ein Minus. Du siehst also, das geht wirklich auch so ohne das einzutippen. Der Vorteil ist dann natürlich, dass du dann einfach besser weißt, wie kommen hier welche Zahlen zustande, welcher Term steuert was bei. Das wird noch wichtig im weiteren Verlauf der Aufgabe. Hier wird etwas abgezogen, da siehst du Nullen, da auch Null und so weiter. Und da machen manche Leute den Fehler, dass sie denken, da wird ja alles 0, klar, brauche ich mich gar nicht drum zu kümmern. Aber vorsicht! Das muss nicht alles 0 werden. Zum Beispiel, wir haben hier 0,5×0, 0²=0, ist klar, das ist 0. Minus 5×0=0, aber hier steht -25, -25 ist nicht 0. Aber dann sagen einige Leute, aber hier ist doch die 0. Ja, vorsicht. .0,2×0=0, richtig, e0 ist aber nicht 0, e0=1. Hier steht also -25×1 und weil hier das Minuszeichen noch davor steht, Minus mal Minus ist Plus, hier steht also +25. Ja, das ist wichtig. +25 kommt dazu, ja und da darf ich natürlich meinen Taschenrechner benutzen. e-4 bedeutet geteilt durch e4. e4 rechne ich auch nicht im Kopf und das habe ich jetzt mal hier heimlich vorbereitet. Der Term ist also ungefähr, also die Zahl, die hier herauskommt ist ungefähr 19,05. Ich denke es ist hier wirklich, da es um einen Kuchen geht, reichlich gerundet, da man auf die zweite Nachkommastelle rundet. Man könnte auch sagen, auch das ist Blödsinn, es reicht auch... Ich mache das mal so. Es geht um einen Kuchen, Leute, nicht um ein Feinmechanikerwerkzeug. Es geht um einen Kuchen und ich sage, er ist ziemlich genau um 19 mm gewachsen. Ich könnte natürlich noch auf den Zehntel mm runden. Aber bei einem Kuchen, auf ein Zehntel mm, weiß ich nicht. Also, ich finde mm reicht völlig. Du darfst auch jeweils sinnvoll runden, auch im Abitur. Das ist kein Problem. Und überlege dir bitte auf welche Stelle du runden solltest, damit da etwas vernünftiges herauskommt. Die Aufgaben sind auch so formuliert, dass du jeweils weißt, soll ich jetzt ein möglichst exaktes Ergebnis liefern oder soll das irgendwie sinnvoll sein, um was geht es hier eigentlich. Also das darfst du auch ruhig mit bedenken. Wenn es jetzt aber, und damit komme ich zum Schluss hier für diesen Teil der Aufgabe, wenn es jetzt also um die absolute Höhe des Kuchens geht, die man jetzt auf den mm genau sagen soll, bitte diese 2 cm Anfangshöhe nicht vergessen. Das sind 19 mm + 2 cm, das kann ich hier einfach hinschreiben, die Rechnung ist so einfach. Da brauche ich jetzt nicht noch groß auszuholen. Das sind also 3,9 cm, ja 2 cm + 19 mm, das sind unterschiedliche Einheiten, bitte hier auch dran denken. 3,9 cm, das glaube ich darf man jetzt einfach so hinschreiben. Ja, und dann kommt noch bisschen was zum grafischen Ableiten und Integrieren im nächsten Teil. Bis dahin, viel Spaß, tschüss!

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